BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2000

1. On cherche deux entiers relatifs $x$ et $y$ solutions de l'équation $(1)~ax + by = 60 ~(a$ et $b$ entiers naturels donnés tels que $ab \neq 0$). On notera $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$.
         a. On suppose que l'équation (1) a au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$. Montrer que $d$ divise 60.
         b. On suppose que $d$ divise 60. Prouver qu'il existe alors au moins une solution $(x_{0}~;~y_{0})$ à l'équation (1).
   
2. On considère l'équation : $(2) \quad 24x + 36y = 60.\quad (x$ et $y$ entiers relatifs).
    
         a. Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l'équation (2).
         b. Trouver une solution évidente pour l'équation (2) et résoudre cette équation. On appellera $S$ l'ensemble des couples $(x~;~ y)$ solutions.
         c. Énumérer tous les couples $(x~;~y)$ solutions de (2) et tels que :

\[- 10 \leqslant x \leqslant 10.\]
 
          d. Donner parmi eux, ceux pour lesquels $x$ et $y$ sont multiples de 5.
           Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1~cm), représenter l'ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que :
            \[\left\{\begin{array}{l c l}
                x &=& 1 + 3t\\
                y &= &1 - 2t \\
            \end{array}\right. t \in \mathbb{R}.\]
         e. Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions $(x~;~y)$ de l'équation (2) appartiennent à $E$. Comment peut-on caractériser $S$ ?