Bac Spécialite

BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l'équation (E) : $25x -108y =1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

 Vérifier que le couple $(13~;~3)$ est solution de cette équation.
  Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

Partie B

Dans cette partie, $a$ désigne un entier naturel et les nombres $c$ et $g$ sont des entiers naturels vérifiant la relation $25g -108c =1$.

On rappelle le petit théorème de Fermat :

BAC S SPECIALITE Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = -1 + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{C}} = 1 + 3\text{i}.\]
et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x + 2$.

 Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite $\mathcal{D}$.

BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.}

 On considère l'équation (E) : $3x-2y=1$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

 les solutions de l'équation  (E) sont les couples $(9+2k~;~13+3k)$, avec $k$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs.

BAC S SPECIALITE Asie juin 2012

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

{Partie A - Détermination d'une similitude directe}
 
On considére les points A et B d'affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad  
z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}.\]
    
         Ecrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.

BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane juin 2012

Les quatre questions sont indépendantes.

         Vérifier que le couple $(4~;~6)$ est une solution de l'équation  
        \[(\text{E})\qquad 11x - 5y = 14.\]
         Déterminer tous les couples d'entiers relatifs $(x~;~y)$ vérifiant l'équation (E).
    
                     Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
\[2^{3n} \equiv 1\quad  \pmod 7.\]
         Déterminer le reste de la division euclidienne de ${2011}^{{2012}}$ par 7.
            

BAC S SPECIALITE Liban mai 2012

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On note $z_n$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_0 = 0$, et telle que:

\[z_{n+1}=\frac{1+\text{i}}{2}z_n+1,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\]
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.

 Calculer les affixes des points $A_1$, $A_2$ et $A_3$. Placer ces points dans le plan muni du repère $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$.
 

BAC S SPECIALITE Amérique du Sud_novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Proposition 1:  Le reste de la division euclidienne de ${2011}^{{2011}}$ par 7 est 2 .

 Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls.
 

BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2011

On considère la surface $S$ d'équation : $x^2 + y^2 - z^2 = 4$.

                   Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ alors le point
        
$M'(-x~;~-y~;~-z)$ appartient aussi à $S$. Que peut-on en déduire ?
         Montrer que la surface $S$ est symétrique par rapport au plan $(x\text{O}y)$. On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans $(x\text{O}z)$ et $(y\text{O}z)$.
    

BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2011

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On note A et B les points de coordonnées respectives $(1~;~0)$ et $(6~;~1)$.
 
Pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, on note $M'$ l'image du point $M$ par la symétrie orthogonale d'axe (AB) et $\left(x'~;~y'\right)$ ses coordonnées.

         Justifier l'existence de deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout point $M$ d'affixe $z$, l'affixe $z'$ du point $M'$ est donnée par

\[z' = a \overline{z} + b.\]

BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane septembre 2011

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
 
Si $p$ est un nombre premier et $a$ est un entier naturel non divisible par $p$, alors $a^{p -1} \equiv 1\quad  (\text{modulo} p)$.
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par :

\[u_{0} = 1\, \text{et, pour tout entier naturel}\, n, u_{n+1} = 10 u_{n} + 21.\]
 
 Calculer $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$.
 
             Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,$
        

BAC S SPECIALITE Métropole juin 2011

PARTIE A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS.

Théorème de BÉZOUT :

Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple
$(u~;~v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au+ bv = 1$.

Théorème de GAUSS :

Soient $a,\, b,\, c$ des entiers relatifs.

BAC SPECIALITE Asie juin 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

 Pré-requis: tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.
 
Démontrer que tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l'unicité de cette décomposition).
 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $629$.
 
Partie B

BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane juin 2011


 On considère l'équation (E): $11x-7y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

 Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tels que $11u - 7v = 1$. Trouver un tel couple.
 En déduire une solution particulière de l'équation (E).
 Résoudre l'équation (E).

BAC S SPECIALITE Liban mai 2011

Partie A
 
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct.
 
Prérequis : L'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'= az + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a \neq 0$.

Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points du plan tels que A $~\neq~$ B et A$' ~\neq~$B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$.
 
Partie B

BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2011

Partie A
 
On considère, dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, la surface $\mathcal{S}$ d'équation :

\[z = (x - y)^2.\]

 On note $\mathcal{E}_{1}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$.
 
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{1}$.
On note $\mathcal{E}_{2}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $x = 1$.
 

BAC S COMPLEXE Amérique du Sud novembre 2010

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $A(n) = n^4 + 1$.

L'objet de l'exercice est l'étude des diviseurs premiers de} $A(n)$.

 Quelques résultats
    
         Étudier la parité de l'entier $A(n)$.
         Montrer que, quel que soit l'entier $n,~A(n)$ n'est pas un multiple de 3.
         Montrer que tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ est premier avec $n$.
         Montrer que, pour tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ :

\[n^8 \equiv 1\quad \mod d.\]

     Recherche de critères

BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2010

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
On considère la similitude indirecte $f$ d'écriture complexe

\[z' = \left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\overline{z}\]
où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$.
 
Soient les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}$  et $z_{\text{B}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$.
On note A$'$ et B$'$ les images respectives des points A et B par $f$.

BAC S SPECIALITE Réunion septembre 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$; unité graphique: 8~centimètres.
 
On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$  telle que

\[z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z.\]

 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$.

BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2010

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les deux rectangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives

\[z_{\text{A}} = -2,~ z_{\text{B}} = -2 + \text{i},~z_{\text{C}}= \text{i},~z_{\text{D}}= 1,~z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i},~z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}.\]

Voir la figure donnée en annexe 3.

 On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E.
    

BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2010

Les parties A et B sont indépendantes}

Partie A

On considère l'équation (E) : $7x - 6y = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.
 
         Donner une solution particulière de l'équation (E)
     Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels solutions de l'équation (E).
 
Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples $(n,~m)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation : $7^n - 3 \times 2^m = 1$  (F).

     On suppose $m \leqslant 4$.
    

BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2010

Partie 1 : Restitution organisée de connaissances
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Prérequis :
 
On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe.

BAC S SPECIALITE Métropole juin 2010

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} d'unité graphique 1~cm, on considère les points $A,~B,~C,~M,~N$ et $P$ d'affixes respectives :
\[a = 1 + \text{i},~ b = -1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\]  
    
         Placer les points $A,~ B,~C,~M,~N$ et $P$ dans le repère.
         Calculer les longueurs des côtés des triangles $ABC$ et $NMP$.
         En déduire que ces deux triangles sont semblables.

BAC S COMPLEXE Asie juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points B, C et H d'affixes respectives :
\[b = 5\text{i},\quad c = 10\quad \text{et}\quad  h = 2 + 4\text{i}.\]
 
Construire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.}

     Étude de la position du point H
        

BAC S Antilles-Guyane juin 2010

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} d'unité 1~cm.

Restitution organisée de connaissances
    
On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes:
Propriété 1: Toute similitude indirecte qui transforme un point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ admet  une expression complexe de la forme $z'=a\overline{z}+b$ où $a\in\mathbb{C}^*$ et $b\in\mathbb{C}$.

BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2010

Partie A

On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x,~y)$ solutions de l'équation

\[(\text{E}) :\quad  16x - 3y = 4.\]

     Vérifier que le couple (1~;~4) est une solution parliculière de (E).
     Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
 
Partie B

BAC S SPECIALITE Liban juin 2010

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.

 Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
 

BAC S SPECIALITE Amérique du Sud novembre 2009

On considère un carré direct ABCD (c'est à dire un carré ABCD tel que :$\left(\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\quad[2\pi]$) de centre I.

Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA].

$\Gamma_1$ désigne le cercle de diamètre [AI] et $\Gamma_2$ désigne le cercle de diamètre [BK].

Partie A

     Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ telle que
    $s(\text{A})=\text{I}$ et $s(\text{B}) = \text{K}$.

BAC S SPECIALITE Antilles - Guyane septembre 2009

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.
On considère la surface $S_{1}$ d'équation $z = x^2 + y^2$, et la surface $S_{2}$ d'équation $z = xy + 2x$.
 
PARTIE A

On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x = 2$, $E_{1}$ l'intersection de la surface $S_{1}$ et du plan $\mathcal{P}$ et $E_{2}$ l'intersection de la surface $S_{2}$ et du plan $\mathcal{P}$.
 

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