Bac Math $1^{er}groupe$ R S1 S3 2011

Exercice 1 (4 points)

Soit $\Delta$ une droite de repère $(O\;,\ \vec{u})$ dans le plan orienté, $\Delta'$ limage de $\Delta$ par le quart de tour direct de centre $O$
 
Soit $I$ un point du plan tel que la mesure principale de l'angle $(\vec{u}\;,\ \overrightarrow{OI})$ appartient à $\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$.
 
$H$ et $H'$ sont les projetés orthogonaux de $I$ respectivement sur $\Delta$ et $\Delta'$. Les figures demandées seront réalisées en choisissant $OH=4\;cm$ et $OH'=2\;cm$
 
A chaque point $M$ de $\Delta$ distinct de $O$ on associe le cercle $C_{M}$ passant par $O\;,\ I$ et $M$
 
1) a) Si $M$ est en $O$ on convient que $C_{o}$ est le cercle tangent en $O$ à $\Delta$ et passant par $I$
 
Préciser le centre de $C_{o}$ et tracer ce cercle sur la figure$\quad(0.25\;pt)$
 
b) Montrer qu'il existe un point $A$ de $\Delta$ et un seul tel que le cercle $C_{A}$ soit tangent à $\Delta'$
 
Préciser le centre de $C_{A}$ et tracer ce cercle sur la figure$\quad(2\times 0.25\;pt)$
 
Le cercle $C_{M}$, s'il n'est pas tangent à $\Delta'$ recoupe cette droite en un point $M'$ autre que $O$
 
En particulier, $C_{o}$ recoupe $\Delta'$ en un point $O'$
 
Si $M$ est en $A$, on convient que $A'=O$
 
2) Soit $s$ l'unique similitude directe du plan associant $O$ à $O'$ et $A$ à $A'$
 
a) Montrer que l'angle de $s$ admet pour mesure $-\dfrac{\pi}{2}\quad(0.5\;pt)$
 
b) Déterminer le centre de cette similitude.(On établira qu'il appartient à $C_{A}$ et $C_{o}\quad(0.5\;pt))$
 
c) Déterminer l'image de $H$ par $s$ et en déduire le rapport de $s\quad(2\times 0.5\;pt)$
 
3) Prouver que pour tout point $M$ de $\Delta$, $s(M)=M'\quad(0.5\;pt)$
 
$\qquad\qquad\qquad(0.75\;pt\text{ pour la figure})$
 

Exercice 2 (3 points)

Un tournoi de lutte oppose deux écuries $A$ et $B$ qui jouent 3 parties successives de lutte.
 
Les parties sont supposées indépendantes. Le vainqueur du tournoi est l'écurie qui a gagné le plus de parties.
 
Chaque partie est noté $A$ $B$ ou $N$ suivant que l'écurie $A$ gagne, $B$ gagne ou que la partie est nulle.
 
A chaque partie l'écurie $A$ a une probabilité $a=0.5$ de gagner l'écurie $B$ a une probabilité $b=0.4$ de gagner
 
1) Dresser la liste des tournois sans vainqueur. Constater qu'ils sont au nombre de 7$\quad(0.5\;pt)$
 
On pose $c=1-a-b$. Calculer en fonction de $a\;,\ b$ et $c$ la probabilité $s$ pour que le tournoi soit sans vainqueur
 
Vérifier que $s=0.121\quad(0.5+0.25\;pt)$
 
2) a) Calculer la probabilité $p$ pour que l'écurie $A$ gagne exactement une partie du tournoi et remporte le tournoi$\quad(0.5\;pt)$
 
b) Calculer en fonction de $a$ et $c$ la probabilité $q$ pour que l'écurie $A$ soit vainqueur du tournoi.
 
Vérifier que $q=0.515\quad(0.5+0.25\;pt)$
 
3 ) Sachant que l'écurie $B$ est vainqueur du tournoi, calculer la probabilité pour que l'écurie $B$ ait gagné exactement deux parties $\quad(0.5\;pt)$
 

Exercice 3 (3 points)

On rappelle "le petit théorème de Fermat ": Si $p$ est un entier naturel premier et $a$ un entier naturel premier avec $p$ alors $a^{p-1}\equiv 1[p]$
 
1) Déterminer un entier naturel $n$ tel que $2^{n}\equiv 1[11]\quad(0.25\;pt)$
 
2) Soit $a$ un entier naturel non divisible par 11.
 
Démontrer que $a^{10}\equiv 1[11]\quad(0.5\;pt)$
 
3) Soit $a$ un entier naturel non nul. On appelle ordre de $a$ (modulo 11), le plus petit entier naturel $k$ non nul tel que $a^{k}\equiv 1[11]$
 
a) Soit $k_{0}$ l'ordre de $a$. Montrer que le reste $r$ de la division euclidienne de 10 par $k_{0}$ vérifie $a^{r}\equiv 1[11]\quad(0.5\;pt)$
 
b) En déduire que $k_{0}$ divise 10$\quad(0.5\;pt)$
 
c) Quelles sont les valeurs possibles de $k_{0}\;?\quad(0.25\;pt)$
  
4) a) Déterminer l'ordre 11 de l'entier naturel 7$\quad(0.5\;pt)$
 
b) A tout entier naturel $n$ non nul, on associe le nombre $A_{n}=1^{n}+2^{n}+3^{n}+\cdots+10^{n}$
 
Montrer que $A_{2011}\equiv 0\;[11]\quad(0.5\;pt)$

Problème (10 points)

Soit $a\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\setminus\{1\}$ et $f_{a}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$
par $f_{a}(x)=a^{\sqrt{x}}=\mathrm{e}^{\sqrt{x}\ln a}$; $C_{a}$ sa courbe représentative dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ (unité graphique $2\;cm$)
 
Partie A
 
1) a) Justifier la dérivabilité de $f_{a}$ sur $]0\;,\ +\infty[$ et calculer $f'_{a}(x)$ pour
$x>0\quad(0.25+0.5\;pt)$
 
b) La fonction $f_{a}$ est-elle dérivable au point 0 ?$\quad(0.5\;pt)$
 
c) Étudier la limite de $f_{a}$ en $+\infty$.Dresser le tableau de variation de $f_{a}$ selon les valeurs de $a\quad(0.25+0.5\;pt)$
 
2) a) Donner une équation de la tangente $(T_{a})$ à la courbe $C_{a}$ au point $A$ d'abscisse 1$\quad(0.25\;pt)$
b) Calculer $f_{a}''(x)$ pour $x>0$. Étudier selon les valeurs de $a$ le signe de $f_{a}''(x)$ pour $x>0$
 
En déduire l'existence d'un point d'inflexion de la courbe $C_{a}$ si $a>1\quad(2\times 0.5+0.25\;pt)$
 
3) Construire dans le repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$ la droite $(T_{e})$ tangente à $C_{e}$ au point d'abscisse 1 et la courbe $C_{e}\quad(0.5\;pt)$
 
Dans la suite du problème on suppose $a>1$
 
Partie B
 
On note $(\Pi)$ la partie du plan délimité par la courbe $C_{a}$ l'axe des ordonnés et la droite $\Delta_{a}$ d'équation $y=a$
 
1) Si $\mathcal{A}$ désigne en unités d'aires, l'aire du domaine $(\Pi)$, justifier que $$\mathcal{A}=a-\int_{0}^{1}f_{a}(x)\mathrm{d}x\quad(0.25\;pt)$$
 
2) Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle de mesure $-\dfrac{\pi}{2}$
 
Soit $M$ un point du plan d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$ et $M'$ le point d'affixe $z'=x'+\mathrm{i}y'$ image de $M$ par $r$
 
a) Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y\quad(0.25\;pt)$
 
b) Soit $C'_{a}$ l'image de $C_{a}$ par $r$
 
Montrer que $C'_{a}$ a pour équation :
$$y=-\left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right)^{2}\;,\ x>1\quad(0.5\;pt)$$
 
c) Déterminer les images $T'_{a}$ et $\Delta'_{a}$ de $T_{a}$ et $\Delta_{a}$ respectivement par $r\quad(2\times 0.25\;pt)$
 
d) Construire $T'_{e}\;,\ \Delta'_{e}$ et $C'_{e}$ dans le repère $(O\;,\ \vec{u}\ ,\ \vec{v})\quad(0.25\;pt)$
 
e) Soit $(\Pi')$ la partie du plan délimité par $T'_{a}$ $\Delta'_{a}$ et $C'_{a}$.
 
A l'aide de deux intégrations par parties calculer en u.a l'aire $\mathcal{A}$ de $(\Pi')$
 
En déduire l'intégration $$I=\int_{0}^{1}f_{a}(x)\mathrm{d}x\quad(0.5+0.25\;pt)$$
 
3) Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $$h(x)=\int_{0}^{x}a^{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$$ et $g$
la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $g(x))=x^{2}$.On note $\varphi$ la fonction $h\circ g$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$
 
a) Calculer $\varphi(0)\quad(0.25\;pt)$
 
b) Justifier la dérivabilité $\varphi$ sur $\mathbb{R}^{+}$ et montrer que : $\forall x\geq 0\;,\ \varphi'(x)=2xa^{x}\quad(0.25+0.5\;pt)$
 
c) En déduire que : $\forall x\geq 0\;,\ \varphi(x)=\dfrac{2a^{x}}{\ln a}\left(x-\dfrac{1}{\ln a}\right)+\dfrac{2}{\ln^{2}a}\quad(0.5\;pt)$
 
d) Retrouver alors $I\quad(0.25\;pt)$
 
Partie C
 
Pour tout entier naturel non nul $k$ on pose : $$u_{k}=\int_{(k-1)/k}^{k/(k+1)}f_{a}(t)\mathrm{d}t$$ et soit $(S_{n})_{n\geq 1}$ la suite définie par $$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}\;,\ n\in\mathbb{N}^{\ast}$$
 
1) Montrer que : $$\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ S_{n}=\int_{0}^{n/(n+1)}f_{a}(t)\mathrm{d}t\quad(0.5\;pt)$$
 
2) Montrer que $$\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ I-S_{n}=\int_{n/(n+1)}^{1}f_{a}(t)\mathrm{d}t$$
 
et que $$\dfrac{1}{n+1}a\sqrt{n/(n+1)}\leq I-S_{n}\leq\dfrac{a}{n+1}\quad(2\times 0.5\;pt)$$
 
3) En déduire la limite de $(S_{n})_{n\geq 1}\quad(0.25\;pt)$
 
 
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