Bac Math $2^{e}groupe$ S1 S3 2010

Exercice 1 (4 pts)

On considère la fonction numérique $f$ définie par $$f(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}\mathrm{d}t$$
 
1) Préciser l'ensemble $D$ de définition de $f\quad(0.25\;pt)$
 
2) Montrer en utilisant le changement de variable $u=-t$ que la fonction $f$ est impaire.
 
Déterminer alors $$\int_{-x}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}\mathrm{d}t\quad(0.5\;pt+0.25\;pt)$$
 
3) Étudier la dérivabilité de $f$ et lorsque $f$ est dérivable en un point $x$, calculer $f'(x)\quad(0.25\;pt+0.25\;pt)$
 
4) Établir que pour tout $x\geq 2$, on a : $$\int_{2}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}\mathrm{d}t\leq 1+\dfrac{1}{1-x}$$
 
En déduire que $f$ est bornée puis que si $f$ admet une limite en $+\infty$, cette dernière est finie.$\quad(0.5\;pt+0.5\;pt+0.5\;pt)$
 
5) En admettant que $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\dfrac{\pi}{2}$ construire la courbe $C_{f}$ représentative de $f$ dans la plan muni d'un repère orthonormé (préciser la tangente à $C_{f}$ à l'origine ainsi que les
asymptotes de $C_{f})\quad(1\;pt)$

Exercice 2 (4 pts)

Pour tout nombre réel $a$ non nul, on désigne par $f_{a}$ l'application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ qui associe à tout nombre complexe $z$ le nombre complexe $Z=f_{a}(z)$ satisfaisant à
$$Z-\mathrm{i}a=\dfrac{\mathrm{i}}{a}(z-\mathrm{i}a)$$
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$ on note $F_{a}$ l'application qui associe
à tout point $m$ d'affixe $z$, le point $M$ d'affixe $f_{a}(z)$.
 
1) Montrer que $F_{a}$ admet un unique point invariant $S_{a}$ dont on déterminera l'affixe$\quad(1\;pt)$
 
2) a) Pour $m\neq S_{a}$, exprimer en fonction de $a$ le rapport $\dfrac{S_{a}M}{S_{a}m}$ ainsi qu'une mesure de
l'angle $(\overrightarrow{S_{a}m}\;,\ \overrightarrow{S_{a}M})\quad(1\;pt)$
 
b) En déduire la nature de l'application $F_{a}$ et préciser ses éléments caractéristiques$\quad(1\;pt)$
 
3) Montrer que $F_{a}^{-}\circ F_{-a}$ est une translation $\quad(1\;pt)$

Exercice 3 (4 pts)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$, on considère les points
$A(1\;,\ 2\;,\ 2)\;,\ B(3\;,\ 2\;,\ 1)$ et $C(1\;,\ 3\;,\ 3)$
 
1) Calculer $\overrightarrow{AB}\bigwedge\overrightarrow{AC}$ et en déduire que $A\;,\ B$ et $C$ déterminent un plan.$\quad(0.5\;pt+0.25\;pt)$
 
2) Donner une équation cartésienne du plan $(ABC).\quad(0.75\;pt)$
 
3) On considère les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ d'équations respectives
$$x-2y+2z-1=0\;\text{ et }x-3y+2z+2=0$$
 
a) Montrer que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants. On notera $\Delta$ leur droite d'intersection.$\quad(0.5\;pt)$
 
b) Montrer que le point $C$ appartient à $\Delta.\quad(0.5\;pt)$
 
c) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta\quad(1\;pt)$
 
d) Calculer la distance du point $A$ à la droite de la droite $\Delta\quad(0.5\;pt)$

Exercice 4 (4 pts)

On note $H$ l'orthocentre d'un triangle équilatéral direct $ABC$. On désigne par $r_{A}\;,\ r_{B}$ et $r_{C}$ les rotations de centres respectifs $A\;,\ B$ et $C$ et de même angle $\dfrac{\pi}{3}$ et on pose
$$f=r_{A}\circ r_{B}\;\text{ et } g=r_{C}\circ r_{B}\circ r_{A}$$.
 
1) Calculer $f(C)\;,\ f(B)$ et $g(B)$ et en déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$ et de $g\quad(0.5\;pt+0.5\;pt+0.5\;pt+0.25\;pt+0.25\;pt)$
 
2) On désigne par $s_{(AB)}\;,\ s_{(BC)}$ et $s_{(CA)}$ les réflexions d'axes respectifs $(AB)\;,\ (BC)$ et $(CA)$
 
et on pose $h=s_{(CA)}\circ s_{(AB)}\circ s_{(BC)}$ et soit $(d)$ la droite parallèle à $(AC)$ passant par $B.$
 
Montrer que $s_{(AB)}\circ s_{(BC)}=s_{(d)}\circ s_{(AB)}.\quad(1\;pt)$
 
3) Soit $B'$ le milieu de $[AC]$. Montrer que $h=t_{2\overrightarrow{BB'}}\circ s_({AB}).\quad(1\;pt)$

Exercice 5 (4 pts)

Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires indiscernables au toucher.
 
On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne.
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tirée.
 
(On convient que le rang 0 correspond au tirage de trois boules noires)
 
1) Définir la loi de probabilité de $X\quad(1.5\;pt)$
 
2) Calculer l'espérance mathématique et la variance de $X.\quad(0.5\;pt+1\;pt)$
 
3) Tracer la courbe représentative de la fonction de répartition de $X$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.$\quad(1\;pt)$
 
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