Bac Maths $2^{ème}$ groupe S1 S3 2018

 

Exercice 1 (5 points) 

Un parcours sportif comporte trois épreuves :
 
1) Une première épreuve de saut d'une hait, réussie si la haie ne tombe pas.
 
2) Une deuxième épreuve de saut d'un ruisseau, réussie si les pieds ne sont pas mouillés.
 
3) Une troisième épreuve de grimper d'une corde, réussie si on va jusqu'au bout.
 
Chacune des épreuves est indépendante de l'autre.
 
Un sportif donné, abonné à ce parcours réussit le saut d'une hait avec la probabilité $0.7$ et les deux autres épreuves avec la même probabilité $0.4.$
 
Calculer la probabilité des évènements suivantes :
 
A :  « Le sportif échoue à la deuxième épreuve.»
 
B :  « Le sportif passe avec succès les deux premières épreuves et échoue à la troisième.»
 
C :  « Le sportif fait un parcours ne comportant qu'un seul échec.»
 
D :  « Le sportif réussit au moins deux épreuves.»  1+1+1.5+1.5 pts

Exercice 2 (5 points)

Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$
 
Soit $A\;,\ B$ les points d'affixes respectives $a=1-\mathrm{i}\;,\ b=-\mathrm{i}\text{ et }f$ l'application de $\mathcal{P}\setminus\{A\}$ dans $\mathcal{P}$ associant à tout point $M(z)$ le point $M'(z')$ tel que :
$$z'z=az'+bz.$$
 
1) Montrer que pour tout $z\in\mathbb{C}\setminus\{a\}\;,\ z'=\dfrac{bz}{z-a}.$  0.5 pt
 
2) Déterminer l'ensemble des points invariants par $f.$  0.5 pt
 
3) a) Établir que pour tout point $M$ distinct de $O$ et de $A$,
$$OM'=\dfrac{OM}{AM}\text{ et }\left(\vec{u}\;,\ \overrightarrow{OM'}\right)=-\dfrac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{AM}\;,\ \overrightarrow{OM}\right)[2\pi]\quad2\times 0.5\;pt$$
 
b) Déterminer et construire l'ensemble $(\mathbb{E})$ des points $M(z)$ tels que $|z'|=2.$  $2\times 0.5$ pt
 
c) Montrer que l'image par $f$ de la médiatrice de $[OA]$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1.$  0.5 pt
 
d) Déterminer l'ensemble des points $M''(1+z')$ lorsque $M$ décrit la médiatrice de $[OA]$.
 
$\left(\text{On pourra utiliser la translation de vecteur d'affixe }1.\right)$  0.5 pt
 
4) a) Montrer que : $(z'-b)(z-a)=ab.$  0.5 pt
 
b) On note $\Delta'$ la droite $(AB)$ privée de $B.$
 
Déterminer l'ensemble $\Delta$ des points $M(z)$ lorsque $M'$ appartient à $\Delta'.$  0.5 pt

Exercice 3 (5 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;,\ \pi[$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}.$
 
1) Étudier la fonction $f$ et construire sa courbe représentative $\mathbb{C}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$.  1.5 pt
 
2) Montrer que la restriction $g$ de $f$ à l'intervalle $\left]0\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ possède une fonction réciproque $g^{-1}.$
 
Tracer la courbe de $g^{-1}$ dans le même repère que $\mathcal{C}.$  1 pt
 
3) a) Soit $y=g^{-1}(x).$
 
Monter que $\sin y=\dfrac{1}{x}\text{ et }\cos y=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.$  1 pt
 
b) En déduire que pour tout $x$ de $]1\;,\ +\infty[\;,\ \left(g^{-1}\right)'(x)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}.$  0.5 pt
 
4) En se servant des résultats précédents, calculer $$\int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{2}}\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\mathrm{d}x.\quad1\;pt$$  

Exercice 4 (5 points)

1) Soit $N$ un entier relatif impair.
 
Montrer que $N^{2}\equiv 1[8]$  1 pt
 
2) Montrer que si un entier relatif $M$ est tel que $M^{2}\equiv 1[8]$, alors $M$ est impair.  1 pt
 
3) Soit $k$ un entier relatif fixé.
 
Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $x^{2}=8k+1.$  1.5 pt
 
4) Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 
Soit $(\mathcal{C})$ la courbe d'équation $$y=\dfrac{1}{8}\left(x^{2}-1\right).$$
 
Déterminer les point de $(\mathcal{C})$ à cordonnées entières se trouvant à l'intérieur du quadrilatère $OABC$ avec $A(5\;,\ 0)\;,\ B(5\;,\ 5)\;,\ C(0\;,\ 5).$  1 pt
 
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