Bac Maths $2^{ième}$ groupe S1 S3 2013

 

Exercice 1 (5 points) 

Soit $d$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$
 
Soit $n$ est un entier naturel dont l'écriture dans la base $d$ est $\overline{1121}.$
 
On sait de plus que l'entier $4n$ s'écrit $\overline{4514}$ dans la base $d.$
 
1) Calculer $n-(d^{3}+d^{2}+2d).$
 
En déduire que $n$ et $d$ sont premiers entre eux.  $2\times0.75$ pt
 
2) Démontrer $n$ et $d$ s'écrivent respectivement $207$ et $7$ en base $10.$
 
Quelle est l'écriture en base $7$ du nombre qui s'écrit $704$ en en base $10$ ?  1+1 pts
 
3) a) En utilisant la question 1) déterminer une solution particulière de l'équation
$$(E)\ :\ nx+dx=1\;,\ (x\;,\ y)\in\mathbb{Z}^{2}.\quad 0.5\;$$
 
b) Résoudre l'équation $(E).$  1 pt

Exercice 2 (5 points)

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$
 
Une urne contient une boule portant le numéro $0$ ; $2^{1}$ boule portant le numéro $1$ ; $2^{2}$ boules portant le numéro $2$ ; $2^{3}$ boules portant le numéro $3$ ; $2^{4}$ boules portant le numéro $4$ ; $2^{5}$ boules portant le numéro $5$ et $2^{6}$ boules portant le numéro $6.$
 
Les boules sont indiscernables au toucher.
 
1) Quel est le nombre total de boules dans l'urne ?  0.75 pt
 
2) On extrait au hasard une boule de l'urne.
 
Soit $X$ la variable aléatoire égale au numéro de la boule tiré.
 
Déterminer la loi de probabilité de $X.$  1.75 pt
 
3) a) Démontrer par récurrence que $\sum_{k=1}^{n}k2^{k}=(n-1)2^{n+1}+2.$  1.25 pt
 
b) EN déduire l'espérance mathématique $E(X)$ de $X$  1.25 pt

Exercice 3 (5 points)

On note $\mathcal{F}$ l'ensemble des fonctions $f$ définies et dérivables sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$, vérifiant :
 
$$\forall\,x\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\;,\ f'(x)+f(x)=x\sin x.$$
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par $h(x)=x\sin x.$
 
1) a) Soit $f\in\mathcal{F}.$
 
Démontrer que la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par $H(x)=xf(x)$ est une primitive de $h.$  1 pt
 
b) Réciproquement, soit $H$ une primitive de $h.$
 
Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par $f(x)=\dfrac{H(x)}{x}$ est un élément de $\mathcal{F}.$  1 pt
 
2) a) A l'aide d'une intégration par parties, déterminer l'ensemble des primitives de $h.$  0.75 pt
 
b) En déduire l'ensemble $\mathcal{F}.$  0.75 pt
 
3) a) Pour quelle valeur du paramètre réel $c$ la fonction $x\mapsto\dfrac{\sin x+c}{x}$ admet-elle une limite quand $x$ tend vers $0$ ?
 
Déterminer alors cette limite.  0.75 pt
 
b) En déduire l'ensemble des éléments de $\mathcal{F}$ ayant une limite finie quand $x$ tend vers $0^{+}.$  0.75 pt

Exercice 4 (5 points)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}.$
 
On considère les points $$A(2\;,\ 1\;,\ 3)\;,\ B(-2\;,\ 0\;,\ 8)\text{ et }C(3\;,\ 2\;,\ 4)$$ et la droite $(\Delta)$ ayant pour système d'équations paramétriques $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&-5-2t\\ y&=&-3+3t\;,\ t\in\mathbb{R}\\ z&=&5-t \end{array}\right.$$
 
1) a) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.$  0.5 pt
 
b) Calculer le produit vectoriel $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}.$
 
En déduire que les points $A\;,\ B\text{ et }C$ définissent un plan perpendiculaire à $(\Delta).$  0.5+1 pt
 
c) Donner alors une équation cartésienne du plan $(ABC).$  1 pt
 
2) Soit $H$ le point commun à la droite $(\Delta)$ et au plan $(ABC).$
 
a) Vérifier que le barycentre de $(A\;,\ 3)\;,\ (B\;,\ 1)\text{ et }(C\;,\ -3)$ est égal à $H.$  1 pt
 
b) Déterminer la nature de l'ensemble de $\Gamma$ des points $M$ de l'espace tels que :
$$\left(3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)=0.\quad 1\;pt$$
 
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