Bac Maths C et E, Benin 2016

 

Pour accéder au crédit mis en place pour l'entrepreneuriat des jeunes, Soton un jeune diplômé sans emploi a décidé de monter un projet de culture du jasmin, un arbuste à fleurs dont la senteur très appréciée est recherchée dans la fabrication des produits cosmétiques. Il prévoit dans son projet, la confection de plaques métalliques pour clôturer le lieu d'implantation de la culture. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(\Omega\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, le sol est représenté par le plan $(Q)$ passant par le point $O(0\ ;\ 4\ ;\ 0)$ et de vecteur $\overrightarrow{n}(2\ ;\ -1\ -3).$ 

 

Les plaques sont assimilables aux plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ tels que $(\mathcal{P})$ a pour équation : $x-y+z-3=0$ et $S_{(\mathcal{P})}\circ S_{(\mathcal{P'})}=t_{\vec{u}}$ ; avec $\overrightarrow{u}(-2\ ;\ +2\ -2)$, $S_{(\mathcal{P})}$ et $S_{(\mathcal{P'})}$ les réflexions de plans $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ respectivement et $t_{\vec{u}}$ la translation de vecteur $\vec{u}.$

 

En vue de l'arrosage, un accord est placé dans le plan de repère $(O\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}})$ tels que : $$\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(\vec{i}+2\vec{j})$ et $\overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{70}}(6\vec{i}-3\vec{j}+5\vec{k})$ et suivant un itinéraire qui coïncide avec une portion de la courbe $(\mathcal{C})$ représentative des variations d'une fonction numérique $f$ de variable réelle $x.$ Le traitement des jeunes plants de jasmin consiste en une pulvérisation avec un produit chimique contenu dans un autre accord muni de robinet qui sera placé suivant un itinéraire qui coïncide dans le plan $(Q)$ avec une portion d'une courbe $(\Gamma).$ Sovissi, élève en classe de terminale scientifique, a pris connaissance du projet de son frère aîné Soton et s'interroge sur certains aspects techniques notamment e système d'irrigation et de traitement phytosanitaire des plants.

Tu es invité(e) à répondre aux préoccupations de Sovissi en résolvant les trois problèmes suivants :

1. a) Détermine une équation cartésienne de $(Q).$

 

b) Prouve que les plans $(Q)$ et $(\mathcal{P})$ sont perpendiculaires suivant une droite $(\Delta)$ dont tu détermineras un système d'équation cartésienne.

 

2. Détermine une représentation paramétrique de $(\mathcal{P'}).$

 

a) Démontre que $(O\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}})$ est un repère orthonormé du plan $(Q).$

 

b) Détermine dans le repère $(O\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}})$ l'expression analytique de la restriction $h$ au plan $(Q)$ de la réflexion $S_{\mathcal{P}}.$

En réalité $f$ est la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\dfrac{x}{2^{||x}+1}$

 

La courbe $(\Gamma)$ est l'ensemble des points $M(x\ ;\ y)$ du plan $(Q)$ vérifiant l'égalité : $$1+x-y+(3+x)\times 2^{|y+2|}=0$$

 

obtenue à l'aide de la transformation du plan $\varphi=S\circ t$ ; $S$ est la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta')$ ∶ $y=x$ et $t$ la translation de vecteur non nul.

 

4. a) Détermine l'ensemble de définition de $f.$

 

b) Prouve qu'il suffit d'étudier $f$ sur $]-\infty\ ;\ 0]$ pour tracer la courbe $(\mathcal{C}).$

 

5. $g$ est la fonction définie sur $]-\infty\ ;\ 0]$ par : $g(x)=1+2^{x}+x\ln 2.$ 

 

a) Étudie les variation de la fonction $g.$

 

b) Démontre que l'équation $g(x)=0$ admet dans $]-\infty\ ;\ 0]$, une unique solution $\alpha$ telle que : $-1.9<\alpha<-1.8.$

 

c) Déduis-en le signe de $g(x)$ sur $]-\infty\ ;\ 0].$

 

6. a) Calcule la limite de $f$ en $-\infty.$

 

b) Étudie la dérivabilité de $f$ à gauche en $0$ et donne une interprétation géométrique du résultat.

 

c) Étudie les variations de la fonction $f$ sur $]-\infty\ ;\ 0].$

 

d) Construis la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}).$

 

7. a) Détermine une équation de l'image $(\mathcal{C'})$ de $(\mathcal{C})$ par la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{v}(-2\ ;\ -3).$

 

b) Déduis-en que $(\Gamma)=\varphi[(\mathcal{C})].$

 

c) Démontre que $\varphi$ est une symétrie glissée dont tu préciseras les éléments caractéristiques.

 

8. Construis $(\Gamma)$ dans le repère $(O\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}).$

On considère la suite $\left(u^{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}$ de terme général $$u_{n}=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x+x^{2}}\mathrm{d}x.$$ 

 

On estime que le produit chimique destiné au traitement des jeunes plants de jasmin éliminera à la $n^{ième}$ semaine de traitement $u_{n}$ kilogrammes d'insectes et de parasites.

 

La pulvérisation et le traitement des plants se font à des intervalles de temps régulier, soit toutes les $T_{1}$ heures pour la pulvérisation et toutes les $T_{2}$ pour l'arrosage. 

 

On suppose que $T_{2}<T_{1}<48$ et que dans $\mathbb{Z}/101\mathbb{Z}$ les classes $\overline{T_{1}}$ et $\overline{T_{2}}$ sont les solutions de l'équation $(E)\ :\ x^{2}+\overline{23}x+\overline{98}=\overline{0}.$

9. a) Justifie que $\left(\mathbb{Z}/101\mathbb{Z}\;,\ +\;,\ \times\right)$ est un corps.

b) Développe et réduis $(x-\overline{36})(x-\overline{42})$ dans $\mathbb{Z}/101\mathbb{Z}$

c) Résous dans $\mathbb{Z}/101\mathbb{Z}$, l'équation $(E).$

d) Déduis-en la prochaine date à laquelle les plants ont été simultanément arrosés et pulvérisés, les robinets ayant été mis en marche le $14$ Juin $2015$ à $6$ heures.

10. a) Justifie que $\left(u_{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}$ est une suite de termes positifs.

b) Étudie le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}.$

c) Déduis-en que la suite $\left(u_{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}$ est convergente.

d) Démontre que pour tout $x$ élément de $[0\ ;\ 1]$, $\dfrac{x^{n}}{3}\leq\dfrac{x^{n}}{1+x+x^{2}}\leq x^{n}.$

e) Déduis-en la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}.$