Bac Maths D, Benin 2010

Sélectionné pour représenter le BENIN au concours international de dessin $(CID)$, qui a eu lieu à Paris en France, Yori a remporté le premier prix avec le dessin d'une maison TATA composée de quatre cases reliées par un mur de base circulaire.

Les expositions de dessins pour le $CID$ ont eu lieu dans la Pyramide du Louvre, grande hall ayant la forme d'une pyramide régulière $SABCD$ de base $ABCD$ et dont les faces latérales sont entièrement en verre.

Yori a ramené, sur la pyramide de Louvre, des informations qui peuvent se traduire comme suit : Dans un repère orthonormé direct $(\Omega\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ; \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}})$ de l'espace orienté pour lequel l'unité de longueur est égale à $11$ mètres :

$\bullet\ $les sommets $A$, $B$, $C$ ont pour coordonnées :

$A(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$ ; $B(−1\ ;\ 0\ ;\ 4)$ ; $C(1\ ;\ −1\ ;\ 6)$

$\bullet\ $l'une des faces latérales est contenue dans le plan $(\mathcal{P})$ d'équation : $11x−10y+2z+3=0$,

$\bullet\ $le sommet $S$ appartient à l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ de l'espace tels que :

$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})\wedge\vec{\mu}=(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{DM})\wedge\vec{\mu}\quad\text{où}\quad \vec{\mu}=\overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}−2\overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}−2\overrightarrow{\mathrm{e_{3}}}$

Alassane, jeune frère de Yori et élève dans une classe de terminale scientifique; se propose d'utiliser ces informations pour déterminer la quantité de verre ayant servi à couvrir la Pyramide du Louvre; mais il est surtout intéressé par la valeur du prix remporté par Yori.

tu es invité(e) à trouver des solutions aux préoccupations de Alassane en résolvant les trois problèmes suivants :

1. Quelle est, en mètres, la longueur du côté de la base de la Pyramide du Louvre ?

2. a) Détermine les coordonnées du point $D.$

b) Détermine les coordonnées de l'isobarycentre $G$ des points $A$, $B$, $C$ et $D.$

3. a) Démontre que l'ensemble $(\mathcal{E})$ est la droite passant par le point $H$, milieu du segment $[AC]$, et dirigée par le vecteur $\vec{\mu}$

b) Écris une représentation paramétrique de $(\mathcal{E}).$

4. Démontre qu'on a : $S\left(\dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{11}{6}\ ;\ \dfrac{35}{6}\right)$

5. a) Calcule en mètres la hauteur de la Pyramide du Louvre.

b) Calcule, en mètres carrés, l'aire de la surface latérale de la Pyramide du Louvre.

Alassane a représenté dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(R\ ;\ \vec{v}\ ;\ \vec{w})$, les points de contact $K$, $L$, $M$, $N$ des quatre cases avec la base circulaire $(\Gamma)$ du mur.

Les affixes des points $K$, $L$ et $M$ sont les solutions de l'équation $P(z)=0$ où $P(z)=z^{3}+(5−2\mathrm{i})z^{2}+(4−22\mathrm{i})z+20−60\mathrm{i}$ avec $z\in\mathbb{C}.$

6. Démontre que $P(z)$ admet une racine réelle $\alpha$ que tu détermineras.

7. Détermine un polynôme $Q(z)$ tel que : $\forall z\in\mathbb{C}\;,\ P(z)=(z−\alpha)Q(z).$

8. a) Calcule : $(4+6\mathrm{i})^{2}$

b) Résous l'équation $z^{2}-2\mathrm{i}z+4−12\mathrm{i}=0$ dans $\mathbb{C}.$

c) Résous l'équation $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}.$

9. En réalité les points de contact $K$, $L$, $M$ et $N$ des quatre cases avec la base circulaire du mur ont respectivement pour affixes : $z_{1}=2+4\mathrm{i}$, $z_{2}=−2−2\mathrm{i}$, $z_{3}=−5$ et $z_{4}=−1+6\mathrm{i}.$

a) Démontre que $KLMN$ est un rectangle.

b) Détermine une équation cartésienne de $(\Gamma).$

c) Représente $(\Gamma).$

La valeur correspondant au premier prix du $CID$ est, en dizaines de milliers d'euros, de la limite de la suite $\left(\mu_{n}\right)$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \mu_{0}&=&2\\\quad;\ n\geq 0 \mu_{n+1}&=&f\left(\mu_{n}\right) \end{array}\right\rbrace$$

Où $f$ est la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x−1+(x^{2}+2x+)\mathrm{e}^{−x}.$

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=1−(x^{2} +1)\mathrm{e}^{−x}$

10. Étudie le sens de variation de $g.$

11. Calcule $g(0)$ et déduis-en le signe de $g.$

12. Calcule les limites de $f$ en $−\infty$ et en $+\infty.$

13. a) Démontre que, pour tout $x\in\mathbb{R}\;,\ f'(x)=g(x)$

b) Dresse le tableau des variations de $f.$

14. Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$, on désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ .

a) Étudie les branches infinies de $(\mathcal{C}).$

b) Construis la courbe $(\mathcal{C})$ et trace la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x.$

15. Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f(x)−x.$

Démontre que l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ vérifiant $2<\alpha<3$

16. Démontre que, pour tout $x\in[2\ ;\ 3]\;,\ f(x)\in[2\ ;\ 3].$

17. a) Démontre que pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ \mu_{n}\in[2\ ;\ 3].$

b) Prouve que la suite $\left(\mu_{n}\right)$ est strictement croissante.

c) Déduis-en que la suite $\left(\mu_{n}\right)$ est convergente.

18. Justifie que le prix remporté par Yori au $CID$ dépasse $20\ 000$ Euros.