Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2014

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

On note $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives $3-2\mathrm{i}$ et $5+\mathrm{i}.$

On désigne par $\mathcal{S}$ la similitude directe de centre $O$ qui transforme $C$ en $B.$

1. a) Démontrer que l'écriture complexe de $\mathcal{S}$ est : $z'=\dfrac{1}{2}(1-\mathrm{i})z$

b) Déterminer les éléments caractéristiques de $\mathcal{S}.$

c) Déterminer l'affixe du point $D$ qui a pour image le point $C$ par $\mathcal{S}.$

2. a) Justifier que l'affixe $z_{1}$ du point $B_{1}$, image de $B$ par $\mathcal{S}$ est $\dfrac{1}{2}(1-5\mathrm{i})$

b) Justifier que le triangle $OBB_{1}$ est rectangle et isocèle en $B_{1}.$

3. On définit les points suivants : $B_{0}=B$ et $\forall n\in\mathcal{N}^{\ast}\;,\ B_{n+1}=\mathcal{S}\left(B_{n}\right).$

On note $z_{n}$ l'affixe du point $B_{n}.$

a) Démontrer par récurrence que :
$$\forall n\in\mathcal{N}^{ast}\;,\ z_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}(1-\mathrm{i})^{n}z_{0}$$

b) Calculer la distance $OB_{n}$ en fonction de $n.$

c) Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty}OB_{n}$

Pour étudier l'évolution du nombre de bacheliers accédant aux études supérieures, le ministère du plan d'un pays a diligente une enquête depuis l'an $2003.$

Les résultats de cette enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année}&2003&2004&2005&2006&2006&2007&2008&2009&2010&2011\\ \hline \text{Rang }X\text{ de l'année}&&&&&&&&&&\\ \hline
\text{Nombre }Y&&&&&&&&&&\\ \text{de diplômés}&&&&&&&&&&\\ \text{(en milliers)}&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique double $(X\;,\ Y)$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. $($Unité graphique : $1\,cm)$ On prendra pour origine le point $\Omega(0\ ;\ 24).$

2. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de la série $(X\;,\ Y).$

3. Justifier que :

a) La variance de $X$ est $\dfrac{20}{3}$

b) La covariance de $X$ et $Y$ est $\dfrac{44}{3}$

4. a) Sachant que la variance de $Y$ est égale à $\dfrac{98}{3}$ déterminer la valeur du coefficient de corrélation linéaire.

b) Justifier que ce résultat permet d'envisager un ajustement linéaire.

5. Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'ajustement de $Y$ en $X$ obtenue par la méthode des moindres carres.

a) Déterminer une équation de $(\mathcal{D}).$

b) Tracer $(\mathcal{D}).$

6. On suppose que l'évolution se poursuit de la même manière au cours des années suivantes.

Donner une estimation du nombre de bacheliers qui accéderont aux études supérieures en $2020.$

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$

L'unité graphique est le centimètre.

Soit $g$ la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=x+(ax+b)\mathrm{e}^{−x}$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Dans le plan muni du repère $(O\;,\ l\;,\ J)$, on désigne par : $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $g$ ; $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $y=x.$

1. a) On donne : $g(0)=1.$

Déterminer la valeur de $b.$

b) On admet que la tangente $(\mathcal{T})$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$ est parallèle à la droite $(\mathcal{D}).$

Déterminer la valeur de $a.$

2. Soit $h$ la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\mathrm{e}^{x}-x.$

a) Soit $h'$ la dérivée de $h.$

Calculer $h'(x)$, pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}.$

b) Dresser le tableau de variation de $h.$

On ne calculera pas les limites de $h$ en $−\infty$ et en $+\infty.$

c) En déduire que : $\forall n\in\mathbb{R}\;,\ h(x)>0$

Soit $f$ la fonction dérivable et définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x+(x+1)\mathrm{e}^{−x}.$

1. a) Calculer la limite de $f$ en $−\infty.$

b) Justifier que $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$

c) Donner une interprétation graphique de ces résultats.

2. a) Calculer la limite de $f$ en $+\infty.$

b) Démontrer que $(\mathcal{D})$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$ en $\infty.$

c) Étudier les positions relatives de $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{D}).$

3. a) On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f.$

Démontrer que :

c) En déduire que : $\forall n\in\mathbb{R}\;,\ f'(x)=\mathrm{e}^{−x}h(x).$

b) Déterminer le sens de variations de $f.$

c) Dresser le tableau de variations de $f.$

4. Construire sur le même graphique $(\mathcal{T}$), $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{D}).$

5. Démontrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}.$

b) On note $f^{−1}$ la bijection réciproque de $f.$

Calculer $(f^{−1})'(1).$

c) Construire $(\Gamma)$, la courbe représentative de $f^{−1}$ sur le même graphique que $(\mathcal{C}).$

On pose : $$\forall n\in\mathbb{N}^\ast\;,\ I_{n}=\int^{n}_{-1}(t+1)\mathrm{e}^{−t}\mathrm{d}t$$

1. A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que :
$$\forall n\in\mathbb{N}^\ast\;,\ I_{n}=(−2-n)\mathrm{e}^{−n}+\mathrm{e}.$$

2. Calculer l'aire $\mathcal{A}_{n}$, en $cm^{2}$, de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\mathcal{D})$ et les droites d'équations $x=−1$ et $x=n.$

3. Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\mathcal{A}_{n}$