Bac Maths D, Cameroun 2011

Exercice 1

A la suite de plusieurs campagnes de vaccination réalisées dans un village du Cameroun, les études ont révélé que la probabilité pour qu'un enfant de moins de $5$ ans soit atteint de poliomyélite est de $0.05.$

On choisit au hasard un enfant de moins de $5$ ans de ce village.

1. Quelle est la probabilité pour que cet enfant ne soit pas atteint de poliomyélite ?

2. On a effectué un contrôle sur 8 enfants âgés de moins de $5$ ans dans ce village.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$A$ : « aucun enfant n'est atteint de poliomyélite »

$B$ : « trois enfants sont atteints de poliomyélite »

$C$ : « au moins quatre enfants sont atteints de poliomyélite »

Exercice 2

Soit $\mathcal{P}$ un plan affine muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

A tout nombre complexe $z\neq-\mathrm{i}$, on associe $f(z)=\dfrac{\mathrm{i}z}{z+\mathrm{i}}.$

On note $M$ le point d'affixe $z=x+\mathrm{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.

1. Déterminer l'affixe $z_{0}$ du point $B$ tel que : $$f(z)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\mathrm{i}.$$

2. On note $r$ le module de $z+\mathrm{i}$ et $\alpha$ son argument principal.

Écrire en fonction de $r$ et $\alpha$ une trigonométrique de $f(z)-\mathrm{i}.$

3. Soit $A$ le point d'affixe $-\mathrm{i}.$

a) Déterminer l'ensemble $(\mathcal{C})$ des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant l'égalité  $$|f(z)-\mathrm{i}|=1.$$

b) Montrer que la droite $(T)$ d'équation $\sqrt{3}x–y–3=0$ est tangente à $(\mathcal{C})$ en $B.$

4. Construire $A$, $B$, $(T)$ et $(\mathcal{C}).$

Exercice 3 Problème

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $$f(x)=\dfrac{2x^{2}-3x}{x^{2}-3x+3}$$

$(\Gamma)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.  
 
1. Donner le domaine de définition de $f$ et les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers l'infini.
 
2. Calculer $f''(x)$ pour tout réel $x$ et dresser le tableau de variation de $f.$

3. Calculer $f(x)–2$, en déduire la position de la courbe $(\Gamma)$ par rapport à son asymptote horizontale.

4. Donner les équations des tangentes à la courbe $(\Gamma)$ aux points d'abscisses $0$ et $2.$

5. Tracer les tangentes précédentes et la courbe $(\Gamma).$

6. Montrer que la restriction $g$ de $f$ à $[3\;,\ +\infty[$ est une bijection de cet intervalle sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

Tracer dans le même repère la courbe de $g^{-1}.$

7. Soit $\lambda$ un nombre strictement supérieur à $3.$

On appelle $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(\Gamma)$ et la droite d'équation $y=2$ d'une part, les droites d'équation $x=3$ et $x=\lambda$ d'autre part.

a) Montrer que $$\mathcal{A}(\lambda)=\int_{3}^{\lambda}\dfrac{3x-6}{x^{2}-3x+3}\mathrm{d}x.$$

b) Montrer que pour tout $x\geq 3$, on a $2x–3\leq 3x–6.$

En déduire que $$\int_{3}^{\lambda}\dfrac{3x-6}{x^{2}-3x+3}\mathrm{d}x\leq\mathcal{A}(\lambda).$$

c) Quelle est la limite de $\mathcal{A}(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty.$

8. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0}$ réel donné et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).$$

a) Pour $u_{0}=2$, montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante.

b) On donne $u_{0}$ tels que $2<u_{0}<3.$

i. Montrer que pour tout $n$, on a $2<u_{n}<3.$

ii. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

iii. Que peut-on en déduire sur la suite $\left(u_{n}\right)$ ?