Bac Maths D, Congo 2013

Les caractères $X$ et $Y$ sont distribués suivant le tableau à double entrée ci-après :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\diagdown Y&-1&0&2\\ \hline -2&4&0&2\\ \hline -1&3&5&0\\  \hline 0&2&1&2\\ \hline \end{array}$$

1) Dresser la loi marginale de $X$ et celle de $Y.$

2) Trouver les coordonnées du point moyen $G(X\ ;\ Y ).$

3) Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X.$

4) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique.

Le plan $(\mathbb{P})$ est rapporté à un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\  \vec{v}).$

1) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $(E)\ ∶\ Z^{3}+8=0.$

On donnera les solutions de $(E)$ sous la forme algébrique.

2) Soit $A$, $B$, et $C$ les points d'affixes des complexes : $Z_{A}=1+\mathrm{i}$ ; $Z_{B}=-2$ ; $Z_{C}=1-\mathrm{i}\sqrt{3}.$

a. Calculer le module et un argument de $U$ tel que : $U=\dfrac{Z_{C}-Z_{A}}{ Z_{B}-Z_{A}}$

b. En déduire la nature du triangle $ABC.$
 
3) Soit $S$, la rotation définie dans $(\mathbb{P})$ telle que : $S(A)=C$ et $S(C)=B.$
 
a. Déterminer l'expression complexe de $S.$
 
b. Déterminer les éléments caractéristiques de $S.$

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $$g(x)=1-x^{2}+\ln x\ ?$$  

1) Étudier les variations de $g$, puis dresser son tableau de variation.

2) Calculer $g(1)$, puis en déduire le signe de $g$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par :  
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&1+x-\mathrm{e}^{1-x}&\quad\text{si }x\leq 1\\\\ f(x)&=&\dfrac{2x-x^{2}+\ln x}{x}&\quad\text{si }x>1 \end{array}\right.$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ du plan d'unité graphique : $2\,cm.$

1) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f.$

2) a. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ au point $x=1.$

b. Pour $x\in]1\ ;\ +\infty[$, exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x).$

3) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.

4) Démontrer que la droit $(\Delta)$ d'équation $y=2x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ et étudier la position de la droite $(\Delta)$ par rapport à cette courbe.

5) Écrire l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$ en $x=0.$

6) Étudier les branches infinies de la courbe $(\mathcal{C})$ de la fonction $f.$

7) Construire dans le même repère, la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$, la droite $(\Delta)$ et la tangente $(T).$

8) Calculer l'aire $\mathcal{A}(D)$ du domaine du plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta)$ et les $x=\dfrac{3}{2}$ et $x=\mathrm{e}.$

On prendra $\ln 2\approx 0.7\ ;\ \mathrm{e}\approx 2.7.$