Bac Maths D, Congo 2018

Le plan complexe $\mathbb{C}$ étant rapporté au repère orthonormal direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}).$

On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $Z_{A}=1+2\mathrm{i}$ ; $Z_{B}=-1+2\mathrm{i}$ ; $Z_{C}=1-\mathrm{i}$ et $Z_{D}=1$

1) a. Déterminer l'affixe $Z_{BC}$ du vecteur $\overrightarrow{BC}.$

b. Déterminer l'expression analytique de la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}.$
 
c. Trouver l'affixe du point $A$ image du point $A'$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}.$
 
2) a. Prouver qu'une mesure, en radian, de l'angle $\left(\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AB}\right)$ est $−\dfrac{\pi}{2}.$
 
b. Écrire l'expression analytique de la rotation $R$ de centre $A$ et d'angle $\left(\overrightarrow{AD}\;,\ \overrightarrow{AB}\right).$

c. Trouver l'affixe du point $C'$ image du point $C$ par la rotation $R.$

3) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude plane directe $S$ de centre $A$ et qui transforme $B$ en $A.$

Soit $\mathbb{E}$ un plan vectoriel rapporté à sa base canonique $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

On considère les deux droites vectorielles $\left(D_{1}\right)$ et $\left((D_{2}\right)$ d'équations cartésiennes respectives $x-2y=0$ et $x+y=0$ de ce plan.

1) Vérifier que les droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left((D_{2}\right)$ sont engendrées respectivement par les vecteurs $\overrightarrow{e_{1}}=2\vec{i}+\vec{j}$  et  $\overrightarrow{e_{2}}=-\vec{i}+\vec{j}.$

2) Prouver que la famille $\left(\overrightarrow{e_{1}}\ ;\ \overrightarrow{e_{2}}\right)$ est une base de $\mathbb{E}.$

3) Montrer que les sous-espaces vectoriels $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$ sont supplémentaires dans $\mathbb{E}.$

4) Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{E}$ défini par : $$\left(\overrightarrow{e_{1}}\right)=\overrightarrow{e_{1}}\quad\text{et}\quad\left(\overrightarrow{e_{2}}\right)=-\overrightarrow{e_{2}}$$

Exprimer les vecteurs $f(\vec{i})$ et $f(\vec{j})$ dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

Soit la fonction numérique $f$ à variable réelle $x$, définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll}
f(x)&=&\dfrac{\ln x}{-1+\ln x}&\quad\text{si }x>0\\\\ f(x)&=&\mathrm{e}^{-2x}&\quad\text{si }x\leq 0 \end{array}\right.$$

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(0\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d'unité graphique : $2\,cm.$

1) Déterminer l'ensemble de définition de $f.$

2) Vérifier que la fonction $f$ est continue en $x=0.$

3) Étudier la dérivabilité de $f$ en $x=0.$

4) a. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f.$

b. Dresser le tableau de variation de $f.$

5) a. Préciser les branches infinies à la courbe $(\mathcal{C})$ de $f.$

b. Tracer $(\mathcal{C}).$

6) Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ ; $x=0.$

Le tableau ci-dessous représente le couple $(x\ ;\ y)$ des deux caractères d'une série statistique.

$x$ est le nombre de jours et $y$ le poids en $mg$ d'une larve.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&1&2&3&4&5&6\\ \hline y&0.2&1.4&1.8&2&2.6&3\\ \hline \end{array}$$

1) Calculer les coordonnées $\bar{x}$ et $\bar{y}$ du point moyen $G.$

2) Déterminer l'équation de la droite de régression linéaire de $y$ en $x.$

3) Estimer le poids de la larve au $7^{ième}$ jour.