Bac Maths D, Mali 2016

1. Résous dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l'équation d'inconnue $z\ :\  Z^{2}+2\sqrt{3}Z+4=0$, détermine le module et un argument de chaque solution.    

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(0\ ;\vec{u}\ ;\ \vec{v})$

On considère la transformation $T$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $Z$ associe le point $M'$ d'affixe $Z'$ défini par $Z'=\mathrm{e}\dfrac{2\pi}{3}\mathrm{i}Z.$  

a) Détermine la nature de la transformation $T$ et donne tous ses éléments caractéristiques.   

b) Soit $A$ le point d'affixe $Z_{A}=-\sqrt{3}+1.$

Détermine les affixes respectives $Z_{B}$ et $Z_{C}$ des points $B$ et $C$ tels que $B=T(A)$ et $C=T(B).$

Construis les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan muni du repère $(0\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

3. Calculer $\dfrac{Z_{B}−Z_{C}}{Z_{A}−Z_{C}}$ puis en déduire la nature du triangle $ABC.$

Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à l'instant $t$ (exprimé en heures), peut être considéré comme une fonction $g$ à valeurs réelles de la variable $t.$

La vitesse de prolifération à l'instant $t$ du nombre des microbes est la dérivée $g'$ de cette fonction.

On a constaté que $g'(t)=kg(t)$ où $k$ est un coefficient réel strictement positif.

On désigne par $N$ le nombre de microbes à l'instant $t=0.$     

1. Détermine l'unique solution de l'équation différentielle $g'(t)=kg(t)$ telle que $g'(0)=N.$

2. Sachant qu'au bout de $2$ heures le nombre de microbes a quadruplé, Calcule en fonction de $N$ le nombre de microbes au bout de $3$ heures.    

3. Quelle est la valeur de $N$ sachant que la culture contient $9\ 600$ microbes au bout de $5$ heures.    

Soit la fonction numérique $f$ à variable réelle $x$ définie par $\dfrac{x^{2}-2x+2}{x-1}$  

On désigne par $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(0\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$  

1. Montre que $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ admet deux asymptotes dont on Déterminera les équations.     

2. Précise la position de $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ par rapport à son asymptote oblique.      

3. Étudie les variations de $f.$

4. Existe-t-il des points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur $\dfrac{3}{4}$ ?   

Si oui trouve les équations de ces tangentes en ces points.    

5. Trace la courbe $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et ses asymptotes dans le plan muni du repère orthonormé $(0\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$   

6. Montre que la restriction $g$ de $f$ à l'intervalle $I=]1\ ;\ 2]$ est une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ que l'on précisera.    

7. a) Calcule $\left(g^{−1}\right)'\left(\dfrac{5}{2}\right).$       

b) Dresse le tableau de variation de $g^{-1}$ puis trace sa courbe représentative dans le même repère que celle de $f.$