Bac Maths D, Maroc 2015

On considère la suite numérique $\left(U_{n}\right)$ définie par :

$U_{0}=4$ et $U_{n+1}=\dfrac{2}{5}U_{n}+3$ pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}$
                                         
1. Montrer par récurrence que $U_{n}<5$ pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}$

2. Vérifier que ∶ $U_{n+1}-U_{n}=\dfrac{2}{5}\left(5-U_{n}\right)$ et en déduire que la suite $\left(U_{n}\right)$ est croissante.

3. En déduire que la suite $\left(U_{n}\right)$ est convergente.

4. Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite numérique telle que $V_{n}=5-U_{n}$ pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}.$

a) Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et exprimer $V_{n}$ en fonction de $n.$
 
b) En déduire que $U_{n}=5-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, puis calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$   

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\  \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, le plan $(\mathcal{P})$ d'équation : $2x-z-2=0$ et la sphère $(\mathcal{S})$ d'équation : $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+2y+2z-7=0$  

1. Montrer que le centre de la sphère $(\mathcal{S})$ est le point $\Omega(-1\;,\  0\;,\ 1)$ et son rayon est $3.$

2. a) Calculer la distance du point Ω au plan $(\mathcal{P}).$

b) En déduire que le plan $(\mathcal{P})$ coupe la sphère $(\mathcal{S})$ suivant un cercle $(T).$

3. Montrer que le rayon du cercle $(T)$ est $2$ et déterminer les coordonnées du point $H$ centre du centre $(T).$

1. a) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}-8z+32=0$

b) On considère le nombre complexe a tel que : $a=4+4\mathrm{i}$

Écrire le nombre complexe a sous forme trigonométrique puis en déduire que $a^{12}$ est un nombre réel négatif.

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ tels que : $a=4+4\mathrm{i}$, $b=2+3\mathrm{i}$ et $c=3+4\mathrm{i}$  

Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$

a) Montrer que : $z'=\mathrm{i}z+7+\mathrm{i}$
 
b) Vérifier que $d$ l'affixe du point $D$ image du point $A$ par la rotation $R$ est $3+5\mathrm{i}.$

c) Montrer que l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que : $|z-3-5\mathrm{i}|=|z-4-4\mathrm{i}|$ est la droite $(BC).$

Une urne contient $5$ jetons : deux jetons blancs, deux verts et un rouge (les jetons sont indiscernables au toucher). On tire au hasard successivement et avec remise trois jetons de l'urne.

1. Soit l'évènement $A$ : les trois jetons tirés sont de même couleur.

Montrer que $p(A)=\dfrac{17}{125}$
                                                                                                                    
2. Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de jeton(s) blanc(s) tirée. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X.$

I. Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$  par ∶ $g(x)=1-x+x\ln x.$

1. a) Montrer que $g′(x)=\ln x$ pour tout $x$ de $ ]0\ ;\ +\infty[$    

b) Montrer que la fonction $g$ est décroissante sur $]0\ ;\ 1]$ et croissante sur $]1\ ;\ +\infty[.$

2. Calculer $g(1)$ et en déduire que $g(x)\geq 0$ pour tout $x$ de $]0\ ;\ +\infty[$    

II. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par :
$$f(x)=3-\dfrac{1}{x^{2}}−\dfrac{2\ln x}{x}$$
                                                                                                            
Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité : $1\,cm).$
 
1. Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\infty$ et donner une interprétation géométrique à ce résultat

$\left(\text{pour calculer }\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)\text{ remarquer que }f(x)=\dfrac{3x^{2}-1-2x\ln x}{x^{2}}\forall\,x\in ]0\ ;\ +\infty[\right)$
 
2. Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=3$ et en déduire la branche infinie de la courbe $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$

3. a) Montrer que  $f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x^{3}}$ pour tout $x$ de $]0\ ;\ +\infty[$

b) Interpréter géométriquement le résultat $f'(1)=0$

c) Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $ ]0\ ;\ +\infty[$

4. Tracer, dans le repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, la courbe $(\mathcal{C}).$

$($On admettra que la courbe $(\mathcal{C})$ possède deux points d'inflexion tels que $1$ est l'abscisse de l'un de ces deux points et l'abscisse de l'autre est comprise entre $2$ et $2.5$ et on prendra $f(0.3)=0).$

5. a) Montrer que $$\int^{\mathrm{e}}_{1}\dfrac{2\ln x}{x}\mathrm{d}x=1$$

b) Calculer, en $cm^{2}$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équation $x=1$ et $x=\mathrm{e}$

6. Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R^{\ast}}$ par :
$$h(x)=3-\dfrac{1}{x^{2}}−\ln(x^{2})|x|.$$

a) Montrer que la fonction $h$ est paire et que $f(x)=f(x)$ pour tout $x$ de  $]0\ ;\ +\infty[$

b) Tracer, dans le même repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, la courbe $(\mathcal{C'})$ représentant la fonction $h.$