LIMITES ET CONTINUITE

Définition :
On dit que la fonction f admet pour limite $L$ en $+\infty $  si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) dès que x est suffisamment grand 
et on note : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = L$ .

Calcul intégral

Définition et propriétés                                                                      

Définition                                                                                                             

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ et $b$ deux éléments de $I$.

On suppose que $f$ admet des primitives sur $I$. Soit $F$ l’une de ces primitives.

Les fonctions numériques d’une variable réelle

Définition : On appelle fonction numérique d’une variable réelle une application d’une partie $E \subset \mathbb{R}$  à valeurs dans $ \mathbb{R}$  . On note

$ f : E \to \mathbb{R} \\  x \mapsto f(x)$

Une fonction numérique n’est pas nécessairement définie pour tous les réels. Ainsi, la fonction

Systèmes de numération

1. Introduction

Une petite légende autour du mot "calcul" (qui vient de « calculus », en latin, caillou), nous raconte que le berger déposait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des prés, le berger sortait les cailloux du panier afin de vérifier le compte de moutons.

Dérivation et études de fonctions

  1. Définitions :

 Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.

Taux de variation : Le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ à la courbe est :

$m =\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , c’est le taux de variation de la fonction entre $a$ et $x$.

Nombre dérivée : Le nombre dérivée de la fonction $f$ au point $a$ par définition si elle existe, est

\[ f'(a)=\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

Il se note $f'(a)$

Logarithme, Exponentielle et Puissances

Définition : La fonction logarithme népérien est une fonction, notée $ln~ x$ , qui vérifie les propriétés suivantes : elle est définie sur $]0 ; +\infty[$ ;$ ln~1 = 0$ et dérivable sur $]0 ; +\infty [$ et sa dérivée est la fonction inverse, autrement dit $(ln x)’ = \frac{1}{x}$ .

Fonction Logarithme népérien

Definition:

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exp pour tout x de $]0,+\infty[$ et pour tout y de $\mathbb{R}$, $\ln x = y$, si et seulement si $e^y = x$

Propriétés

    Pour tout x element de $]0,+\infty[$, on a $e^{\ln x} =x$
    Pour tout x de $\mathbb{R}$, $\ln e^x =x$
    $\ln 1=0$
    $ln e=1$
    $\begin{cases}x \in ]0,+\infty[\\ y =\ln x\end{cases} \Longleftrightarrow x=e^y$
    La fonction logarithme népérien est une bijection de $]0,+\infty[$ dans $\mathbb{R}$

Notions de base

1.      Trinôme du second degré
1.1        Définition

On appelle trinôme du second degré toute expression, définie sur $\mathbb{R}$  pouvant se mettre sous la forme :

$P(x)=ax^2+bx+c $

où a, b et c  sont des nombres réels et $ a \neq 1$ .

Exemples : Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :

 $20+x^2; x^2+2x+3 $

De même

 $ (2x+1)^2-3x^2 $

est un trinôme du second degré. En développant, on obtient

$ (2x+1)^2-3x^2=4x^2+4x+1-3x^2=x^2+4x+1$.

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