Limites – Continuité

1. Continuité d’une fonction

1.1. Notion de continuité

Définition : On considère une fonction f définie sur un intervalle I.

On dit que la fonction f est continue sur I si la courbe représentant la fonction f « se trace d’un trait continue ». (Sans lever le crayon)

Exemples :

  • La fonction racine carrée est continue sur ]0,+∞[
  • La fonction inverse est continue sur ]0,+∞[  mais n’est pas continue sur [-1 ; 1]

1.2.    Fonctions usuelles

Propriétés :

Les fonctions numériques d’une variable réelle

1.         Généralité sur les fonctions

1.1.  Définitions

$\mathbb{R}$ est l’ensemble des nombres réels. C’est un ensemble à la fois ouvert et fermé

$\mathbb{R}^*$ est l’ensemble des réels non nuls.  $\mathbb{R}$= ]−∞, 0[ ∪ ]0,+∞[ est un ouvert

$\mathbb{R}_+$ est l’ensemble des réels positifs ou nuls. $\mathbb{R}_+$ = [0,+∞[ est un ensemble fermé

$\mathbb{R}_{+}^{*}$ est l’ensemble des réels strictement positifs. $\mathbb{R}_{+}^{*}$ est un ouvert.

Systèmes de numération

1. Introduction

Une petite légende autour du mot "calcul" (qui vient de « calculus », en latin, caillou), nous raconte que le berger déposait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des prés, le berger sortait les cailloux du panier afin de vérifier le compte de moutons.

Dérivation et études de fonctions

1.Dérivation

1.1.Nombre  dérivé en un point

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.

  1. Définitions :

 Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.

Taux de variation : Le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ à la courbe est :

Logarithme, Exponentielle et Puissances

1. Fonction logarithme.

1.1.  Définition et propriétés

Définition : La fonction logarithme népérien est une fonction, notée $ln~ x$ , qui vérifie les propriétés suivantes : elle est définie sur $]0 ; +\infty[$ ;$ ln~1 = 0$ et dérivable sur $]0 ; +\infty [$ et sa dérivée est la fonction inverse, autrement dit $(ln x)’ = \frac{1}{x}$ .

Exercices Limites et Continuité

Exercice 1

Calculer les limites suivantes des fonctions en   et

1)   $f(x)=\frac{E(x)}{x-1} $ ;     g(x)= xE(x)   ;   $h(x) = \frac{xsin(x)}{x^2 -x+1}$

2)    $f(x) =\sqrt{2x+1}-\sqrt{x}$    ;  $g(x) = \sqrt{x+1}-\sqrt{x}$    ;         $h(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{x}$

Exercice 2

A)  On définit la fonction $f_{m}$  par $f_{m}(x)=\sqrt{x^2+x+1}-mx$

1)      Discuter suivant les valeurs du paramètre la limite en $ + \infty$  et  de $ - \infty$ de $f_{m}$  .

Fonction Logarithme népérien

Definition:

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exp pour tout x de $]0,+\infty[$ et pour tout y de $\mathbb{R}$, $\ln x = y$, si et seulement si $e^y = x$

Propriétés

    Pour tout x element de $]0,+\infty[$, on a $e^{\ln x} =x$
    Pour tout x de $\mathbb{R}$, $\ln e^x =x$
    $\ln 1=0$
    $ln e=1$
    $\begin{cases}x \in ]0,+\infty[\\ y =\ln x\end{cases} \Longleftrightarrow x=e^y$

Notions de base

1.      Trinôme du second degré
1.1        Définition

On appelle trinôme du second degré toute expression, définie sur $\mathbb{R}$  pouvant se mettre sous la forme :

$P(x)=ax^2+bx+c $

où a, b et c  sont des nombres réels et $ a \neq 1$ .

Exemples : Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :

 $20+x^2; x^2+2x+3 $

De même

 $ (2x+1)^2-3x^2 $

est un trinôme du second degré. En développant, on obtient

Bac S Géométrie Asie 2012

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte $1$ point.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j};~\overrightarrow{k}\right)$, on considère la droite $\mathcal{D}$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $\mathcal{P}$ dont on donne une équation cartésienne :

Bac S Spécialité 2012

Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l'équation (E) : $25x -108y =1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

Vérifier que le couple $(13~;~3)$ est solution de cette équation.
Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

Partie B

Dans cette partie, $a$ désigne un entier naturel et les nombres $c$ et $g$ sont des entiers naturels vérifiant la relation $25g -108c =1$.

On rappelle le petit théorème de Fermat :

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