Bac Math $1^{er}$ groupe S1 S3 2006

Exercice 1 : (4 points)

1) On considère l'équation différentielle :
$$y'+y=\dfrac{\mathrm{e^{-x}}\cos\;x}{2+\sin\;x}\qquad(E)$$ 
$f$ étant une fonction numérique dérivable sur $\nabla$, on pose : $g(x)=\mathrm{e^{x}}f(x)$
 
a) Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g'(x)=\dfrac{\cos x}{2+\sin x}$
 
b) Déterminer la solution générale de $(E)$, en déduire la solution de $(E)$ qui s'annule en 0.
 
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, on considère la courbe $(\Gamma)$ d'équations paramétrique :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& \ln(2+\sin t) \\ y(t) &=& \ln(2+\cos t)\end{array}\right.\;;\quad t\in\nabla $$
 
a) Comparer $M(t)$ et $M(t+2\pi)$ ainsi que $M(t)$ et $M\left(-t+\dfrac{\pi}{2}\right)$
 
b) En déduire que la symétrie orthogonale d'axe la première bissectrice conserve $(\Gamma)$ et montrer que pour construire $(\Gamma)$, il suffit d'étudier $x$ et $y$ dans $\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{\pi}{4}+\pi\right]$
 
c) Dresser le tableau de variations des fonctions $x$ et $y$ dans $\left[\dfrac{\pi}{4}\;;\ \dfrac{5\pi}{4} \right]$ et tracer la courbe $(\Gamma)$
 

Exercice 2 : (4 points)

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 4 boules vertes et 2 boules jaunes.
 
1) On tire au hasard simultanément 2 boules de l'urne et on note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de 2 boules, associe le nombre de boules vertes tirées.
 
Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.
 
2) On tire au hasard deux fois de suite 2 boules simultanément, les boules tirées n'étant pas remises dans l'urne.
 
On note $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ les événements suivants :
 
$A$ : Aucune boule verte n'est tirée au cours du premier tirage de 2 boules.
 
$B$ :  Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules.
 
$C$ :  Deux boules vertes sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules.
 
$D$ :  Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du deuxième tirage de 2 boules.
 
a) Calculer $p(D/A)\;,\ p(D/B)\;,\ p(D/C)$
 
b) En déduire la probabilité des événements $D\backepsilon A\;,\ D\backepsilon B$ et $D\backepsilon C.$
 
Calculer $p(D)$ [On remarquera que $D=D\backepsilon(A(B(C)$].
 

Exercice 3 : (4 points)

Dans le plan euclidien orienté, on considère un rectangle direct $ABCD$ de centre $O$ tel que $AB=3a$ et $BC=a\sqrt{3}$ ; où $a$ est un réel strictement positif donné.
 
1) Déterminer la nature du triangle $BCO$.
 
2) Soit $E$ le point du segment $[BD]$ tel que $BE=\dfrac{3}{4}BD$
 
Donner une construction géométrique
 
du centre $\Omega$ de la similitude directe $s$ telle que $s(B)=O$ et $s(E)=C$ 
 
3) On suppose dans la suite que $a=1$ et on pose :
 
$\vec{u}=\dfrac{1}{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \vec{v}=\dfrac{1}{AD}\cdot\overrightarrow{AD}$ ; on munit ensuite le plan du repère orthonormal direct $(A\;;\ \vec{u}\;;\ \vec{v})$,
 
a) déterminer les affixes de $B$ et de $O.$
 
b) En déduire l'écriture complexe de l'application $s.$
 
4) Déterminer l'affixe de $\Omega$ et celle du point $A'=s(A)$
 
5) On considère la suite de points $M_{n}$ d'affixes $z_{n}$ définie par $M_{0}=A$ et pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ M_{n+1}=s(M_{n})$
 
a) démontrer que la suite $(\alpha_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $\alpha_{n}=z_{n+1}-z_{n}$
 
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $\alpha_{0}$ et la raison.
 
b) Exprimer en fonction de $n$ la longueur de la ligne polygonale $M_{0}M_{1}M_{2}\cdots M_{3n}$ et déterminer la limite de cette longueur quand $n$ tend vers $+\infty$
 

Problème :   (12 points)

Dans ce problème on calcule dans la partie A la valeur d'une intégrale et on étudie dans la partie B une
suite numérique $(I_{n})$ et quelques unes de ses différentes propriétés.
 
Partie A : 
 
Calcul de $$I=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\sqrt{\mathrm{e}^{2t}-1}\mathrm{d}t$$
 
Soit $g$ et $G$ les fonctions définies sur $[0\;;\ +\infty[$ par :
 
$$g(x)=\sqrt{\mathrm{e^{2x}}-1}\quad\text{et}\quad G(x)=\int_{0}^{x}g(t)\mathrm{d}t$$
 
1) Pour tout $x\in\nabla$, on pose : $$H(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^{2}}\mathrm{d}t$$
 
a) Montrer que la fonction $H$ est dérivable sur $\nabla$ et déterminer sa dérivée.
 
b) Calculer $(H\circ\tan)'(x)$ pour tout $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$
 
En déduire que $(H\circ\tan)(x)=x$ pour tout $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\;,\ \dfrac{\pi}{2}\right[$
 
Calculer alors $H(1)$ 
 
2) Pour tout $x\in\;[0\;,\ +\infty[$, on pose : $F(x)=g(x)-H\circ g(x)$,
 
a) Vérifier que $F$ et $G$ sont dérivables sur $]0\;,\ +\infty[$ et que pour tout $x\in\;]0\;,\ +\infty[$, $$F'(x)=G'(x)$$ 
 
b) En déduire que $G(x)=F(x).$ Calculer alors $I.$ [On remarquera que $I=G(\ln\sqrt{2})$].
 
Partie B : 
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par : $f(x)=\mathrm{e}^{2x}-1$
 
Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose :
$$I_{n}=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}[f(x)]^{\frac{n}{2}}\mathrm{d}x\quad\text{puis}\quad I_{0}=\ln\sqrt{2}$$
 
1) a) Vérifier que la fonction $f$ est dérivable sur $\nabla_{+}$  et que pour tout $x\in\nabla_{+}$ : 
$$f'(x)=2[1+f(x)]\qquad (1)$$
 
b) Montrer en utilisant la relation (1) que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on a :
$$I_{n}+I_{n+2}=\dfrac{1}{n+2}\qquad  (2)$$
 
Vérifier que la relation (2) reste encore valable pour $n=0$
 
c) En remarquant que la suite $(I_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est positive, montrer que
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}=0$$
 
2) Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose : $U_{n}=I_{n+4}-I_{n}$
 
a) En remplaçant $n$ par $n+2$, dans la relation (2), montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_{n}=\dfrac{1}{n+4}-\dfrac{1}{n+2}$
 
En déduire l'expression de $U_{4n+1}$ en fonction de $n$
 
b) Calculer $\sum_{n=0}^{p}U_{4n+1}$ en fonction de $I_{4p+5}$ et de $I_{1}$
 
c) Calculer la limite lorsque $p$ tend vers $+\infty$ de la somme
$$1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{-1}{4p+3}+\dfrac{1}{4p+5}=\sum_{n=0}^{2p+2}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}$$
 
 
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