Bac Math S1 S3 $1^{er}$ groupe 2010

Exercice 1 (4 points)

Dans le plan orienté, on considère deux points distincts $A$ et $B.$ Sur la figure, on prendra $8\;cm$ comme longueur du segment $[AB].$
 
1) Étudier et construire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ du plan tels que :
$$\dfrac{MA}{MB}=4\quad(0.5\;pt+0.25\;pt)$$
 
2) Étudier et construire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ du plan tels que :
 $$(\overrightarrow{MA}\;,\ \overrightarrow{MB})=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\quad(0.5\;pt+0.25\;pt)$$
 
3) Soit $C$ l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{3}{4}\pi$ et $D$ l'image de $B$ par
l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{3}{4}$
 
On désigne par $s$ la similitude directe transformant $A$ en $B$ et $C$ en $D.$
 
a) Déterminer le rapport et l'angle de $s.\quad(0.5\;pt+0.5\;pt)$
 
b) On note $I$ le centre de la similitude $s.$ Exprimer $IB$ en fonction de $IA$ et donner une mesure de l'angle $(\overrightarrow{IA}\;,\ \overrightarrow{IB}).$
 
En déduire la position du point $I$ et le placer sur la figure.$\quad(0.25\;pt\times 4)$
 
c) Démontrer que $I$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ACD.\quad(05\;pt)$
 

Exercice 2 (4 points)

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : 
 
"Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1}\equiv 1[p].$"
 
1) a) Démontrer que 193 est un nombre premier.$\quad(0.75\;pt)$
 
b) Soit $a$ un entier naturel inférieur à 192. Montrer que $a^{192}\equiv 1[193].\quad(0.5\;pt)$
 
2) On considère l'équation
$$(E)\ :\ 83x-192y=1\quad\text{où }\ x\ \text{ et }\ y\ \text{ sont des entiers relatifs}.$$
 
a) Vérifier que le couple $(155\;,\ 67)$ est solution de $(E).\quad(0.5\;pt)$
 
b) Résoudre l'équation $(E).\quad(0.75\;pt)$
 
3) On note $A$ l'ensemble des 193 entiers naturels inférieurs ou égaux à 192 et on considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies de la manière suivante :
 
à tout entier $a$ de $A$, $f$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{83}$ par 193; à tout entier $a$ de $A$, $g$ associe le reste de la division euclidienne de $a^{155}$ par 193.
 
a) Démontrer $g(f(a))\equiv a^{83\times 155}[193].$
 
En déduire que pour tout $a\in\;A$ on a : $g(f(a))=a\quad(0.5\;pt+0.5\;pt)$
 
b) Déterminer $f\circ g\quad(0.5\;pt)$

Problème (12 points)

Partie A
 
Soit $a$ un réel non nul, $u$ et $v$ deux fonctions deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ et telles que :
 
$$(01)\qquad\left\lbrace\begin{array}{lcl} u' &=& v \\ v' &=& au \end{array}\right.$$
 
1) a) Montrer que $u$ et $v$ vérifient l'équation différentielle
$$(02)\qquad y''-ay=0\quad(0.25\;pt+0.25\;pt)$$
 
b) résoudre l'équation (02) selon les valeurs de $a.\quad(0.75\;pt)$
 
2) On suppose que $a=1.$ Déterminer $u$ et $v$ sachant que $u(0)=3$ et $v(0)=0.\quad(0.75\;pt)$
 
Partie B
 
Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$ (unité graphique $2\;cm$).
 
Soit $(\Gamma)$ l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{P}$ dont les coordonnées $(x\;,\ y)$ vérifient :
 
$$(03)\qquad\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& \dfrac{3}{2}(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}) \\ \\ y(t) &=& \dfrac{3}{2}(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}) \end{array}\right.\quad t\geq 0$$
 
L'objet de cette partie est de calculer l'aire du domaine plan délimité par $(\Gamma)$ et les droites d'équation $y=0\;,\ x=3$ et $x=5.$
 
1) a) Démontrer que $(\Gamma)$ est une partie de la conique dont une équation est :
$$(04)\qquad x^{2}-y^{2}-9=0\quad(0.5\;pt)$$
 
b) Préciser la nature de cette conique ainsi que ses éléments géométriques caractéristiques.
 
Construire $(\Gamma).\quad(0.5\;pt+0.5\;pt)$
 
2) Soit
$$\begin{array}{rcl} f\;:\;\mathbb{R} &\rightarrow& \mathbb{R} \\ x &\mapsto& x-\sqrt{x^{2}-9} \end{array}\quad\text{et}\quad \begin{array}{rcl} g\;:\;\mathbb{R^{\ast}} &\rightarrow& \mathbb{R} \\ x &\mapsto& \dfrac{x}{2}+\dfrac{9}{2x} \end{array}$$
 
a) Étudier les variations de $f.\quad(0.75\;pt)$
 
b) Montrer que la restriction de $f$ à l'intervalle $I=[3\;,\ +\infty[$ est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.
 
On note $\varphi$ cette restriction.$\quad(0.25\;pt)$
 
c) Démontrer que pour tout $x$ élément de $J$, on a : $\varphi^{-1}(x)=g(x).\quad(0.5\;pt)$
 
d) Tracer $C_{\varphi}$, courbe représentative de $\varphi$ dans le repère $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$.
 
Expliquer comment obtenir $C_{\varphi^{-1}},$ courbe représentative de $\varphi^{-1}$ dans ce repère, à partir de $C_{\varphi}$. Tracer $C_{\varphi^{-1}}.\quad(0.25\;pt\times 3)$
 
3) Soit $\beta$ un élément de $]0\;,\ 3[$ et $\alpha=g(\beta)$
 
a) Calculer $$\int_{\beta}^{3}g(x)\mathrm{d}x$$
 
et en déduire que $$\int_{3}^{\alpha}f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{\beta^{2}}{4}-\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}\ln\dfrac{\beta}{3}\quad(0.25\;pt+0.75\;pt)$$
 
[Indication : On pourra interpréter ces deux intégrales comme des aires]
 
b) En déduire l'aire du domaine plan délimité par $(\Gamma)$ et les droites d'équation $y=0\;,\ x=3$ et $x=5.\quad(0.75\;pt)$
 
Partie C
 
On considère la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ telle que :
 
$$(05)\qquad\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0} &=& 5 \\ u_{n+1} &=& g(u_{n})\;\text{ si }\;n\in\mathbb{N}
\end{array}\right.$$
 
On se propose de calculer de trois façons différentes la limite de la suite $(u_{n})$.
 
1) a) Étudier les variations de $g$ puis montrer que :
$$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n}>3\text{ et }\;\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\dfrac{g(u_{n})-g(u_{n-1})}{u_{n}-u_{n-1}}>0\quad(0.5\;pt+0.25\;pt+0.25\;pt)$$
 
b) Déterminer le signe de $u_{1}-u_{0}$ puis montrer que la suite $(u_{n})$ est monotone.$\quad(0.25\;pt
+0.25\;pt)$
 
c) En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente et déterminer sa limite.$\quad(0.25\;pt+0.25\;pt)$
 
2) a) En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $g$ dans un intervalle approprié, montrer que
$$\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ \dfrac{g(u_{n})-3}{u_{n}-3}<\dfrac{1}{2}$$
 
En déduire que
$$\forall\;n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ u_{n}-3<\dfrac{1}{2^{n-1}}$$
 
Montrer que la suite $(u_{n})$ est convergente et déterminer sa limite.$\quad(0.5\;pt+0.25\;pt+0.25\;pt)$
 
b) Déterminer une valeur possible de $n$ pour que $u_{n}-3\leq 10^{-3}.\quad(0.25\;pt)$
 
3) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ on pose : $v_{n}=\dfrac{u_{n}-3}{u_{n}+3}$
 
a) Montrer que $(\ln v_{n})$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.$\quad(0.5\;pt)$
 
b) Exprimer alors $u_{n}$ en fonction de $n$ et calculer la limite de $(u_{n}).\quad(0.5\;pt+0.25\;pt)$

Correction Bac Math S1 S3 $1^{er}$ groupe 2010

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