Bac Math S1 S3 $1^{er}$ groupe R 2009

Exercice 1

1) Dans l'espace, on donne deux points $A$ et $B$ distincts.
 
a) Montrer que toute rotation $R$ de l'espace transformant $A$ en $B$ a son axe $(D)$ inclus dans le plan médiateur de $[AB].\quad(1\;pt)$
 
b) Réciproquement, soit $(D)$ une droite du plan médiateur de $[AB]$.
 
Montrer qu'il existe une rotation et une seule d'axe $(D)$ transformant $A$ en $B$.
 
On pourra introduire le projeté orthogonal $K$ de $A$ sur $(D).\quad(1\;pt)$
 
2) Soit $OABC$ un tétraèdre régulier dont tous les cotés ont la même longueur c'est à dire $OA=OB=OC=BC=AB=AC.$
 
a) Montrer qu'il existe une rotation $R_{1}$ et une seule d'axe $(OC)$ transformant $A$ en $B. (0.5\;pt)$
 
b) Montrer que le projeté orthogonal $K$ de $A$ sur $(OC)$ est le milieu de $[OC]$.
 
En déduire que $KA=AB\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$
 
c) Déterminer le cosinus de l'angle de la rotation $R_{1}\quad(1\;pt)$

Exercice 2

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
 
"Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1}-1$ est divisible par $p.$"
 
1) Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat, que $4^{28}-1$ est divisible par 29.$\quad(0.5\;pt)$
 
2) Soient $a$ et $n$ deux entiers naturels non nuls.
 
Démontrer que $(a+1)^{n}\equiv 1^{n}[a]$
 
En déduire que $4^{n}\equiv 1[3]\quad(0.5+0.5=1\;pt)$
 
3) Soient $a$ et $n$ deux entiers naturels non nuls.
 
Démontrer que $$(a-1)^{2n}\equiv (-1)^{2n}[a]$$
 
En déduire que $4^{4n}\equiv 1[17]\;\text{ et }\;4^{2n}\equiv 1[5]\quad(0.5+0.5+0.5=1.5\;pt)$
 
4) A l'aide des questions précédentes, déterminer 4 diviseurs premiers de $4^{28}-1\quad(1\;pt)$

Problème

Le plan euclidien $(P)$ est muni d'un repère orthonormé $\mathcal{R}=(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$
 
On appelle $f_{a}$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$$f_{a}(x)=x+1+\dfrac{a}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|$$, où $a$ est un réel non nul.
 
On note $C_{a}$ la courbe représentative de $f_{a}$ dans le repère $\mathcal{R}$ (unité graphique $1\;cm$).
 
Partie A : (5.5 pts)
 
1) Déterminer l'ensemble de définition $Df_{a}$ de $f_{a}$ puis calculer les limites de $f_{a}$ à ses bornes.$\quad(0.25+0.5=0.75\;pt)$
 
2) a) Prouver que toutes les courbes $(C_{a})$ passent par un point fixe $I$ dont on déterminera les coordonnées.$\quad(0.5\;pt)$
 
b) Démontrer que le point $I$ est centre de symétrie de toutes les courbes $(C_{a}).\quad(0.5\;pt)$
 
3) Déterminer les asymptotes de $(C_{a})$ puis étudier les positions relatives de $(C_{a})$ par rapport
à son asymptote oblique $(\Delta).\quad(0.25+0.25+0.5=1\;pt$
 
4) Vérifier que $f_{a}$ est dérivable dans $Df_{a}$ et calculer $f'_{a}(x)$ pour tout $x\in Df_{a}\quad(0.25+0.5=0.75\;pt)$
 
5) Soit $g_{a}$ le trinôme défini pour tout $x$ réel par :
$$g_{a}(x)=x^{2}+a-1$$
 
a) Résoudre, suivant les valeurs de $a$ l'équation $g_{a}(x)=0\quad(0.5\;pt)$
 
b) Dans le cas où l'équation $g_{a}(x)=0$ admet deux solutions réelles distinctes, on note $x_{1}$ la solution strictement positive.
 
Déterminer en fonction de $a$ le signe de $1-x_{1}\quad(0.5\;pt)$
 
c) Étudier suivant les valeurs du paramètre réel $a$ strictement négatif, les variations de $f_{a}\quad(0.5\;pt)$
 
6) Tracer la courbe $(C_{-1})$ dans le repère $\mathcal{R}$ Les points d'inflexion et d'intersection avec
l'axe des abscisses ne sont pas demandés.$\quad(0.5\;pt)$
 
Partie B : (3 pts )
 
Soit $b$ un élément de $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ et $\varphi_{b}$ l'application du plan dans lui-mème qui, à tout point $M(x\;,\ y)$ d'affixe $z$ associe le point $M'(x'\;,\ y')$ d'affixe $z'$ tel que :
$$z'=\dfrac{1}{2}[(1-b)+(1+b)\mathrm{i}]z+\dfrac{1}{2}[(1+b)+(1+b)\mathrm{i}]z+\mathrm{i}(1+b)$$
 
où $z$ est le conjugué de $z$
 
1) a) Écrire $x'$ et $y'$ en fonction de $x\;,\ y$ et $b\quad(0.5\;pt)$
 
b) Démontrer que l'ensemble des points invariants par $\varphi_{b}$ est la droite $(\Delta)$ d'équation
$y=x+1\quad(0.5\;pt)$
 
c) Démontrer que si $M$ n'est pas un point de $(\Delta)$ alors la droite $(MM')$ est parallèle à une direction fixe$\quad(0.5.pt)$
 
d) Soit $M_{0}$ le point de $(\Delta)$ ayant même abscisse que $M.$
 
Exprimer $\overrightarrow{M_{0}M'}$ en fonction de $\overrightarrow{M_{0}M}\quad(0.5\;pt)$
 
2) a) Démontrer que pour tout $b\in\mathbb{R}\setminus{-1}$ et tout $a\in\mathbb{R}^{\ast}\;,\ \varphi_{b}(C_{a})=(C_{-ab})\quad(0.5\;pt)$
 
b) En déduire une construction géométrique simple de $C_{-3}$ point par point à partir de $C_{-1}$ dans le repère $\mathcal{R}\quad(0.5\;pt)$
 
Partie C : (3.5 pts)
 
Soit $\lambda$ un réel tel que $0<\lambda<1$ et $A(\lambda)$ l'aire du domaine délimité par $(C_{a})$, $(C_{a+2})$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=\lambda$ dans le repère $\mathcal{R}$
 
1) en utilisant une intégration par parties, calculer $A(\lambda)$ puis déterminer $\lim_{\lambda\rightarrow 1}A(\lambda)\quad(0.5+0.5=1\;pt)$
 
2) On considère la fonction $h$ définie pour tout élément de $[0\;,\ 1[$ par :
 
$h(x)=-\ln\left(1+\dfrac{2x}{1-x}\right)$ et la suite $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}$de terme général $S_{n}=-\dfrac{1}{n}\sum_{p=0}^{n-1}h\left(\dfrac{p}{n}\right)$
 
a) Déterminer le sens de variation de $h$ sur $[0\;,\ 1[$ puis prouver que pour tout entier naturel $p$
 
vérifiant : $0\leq p\leq n-2$ on a :
$$\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{p+1}{n}\right)\leq\int_{\dfrac{p}{n}}^{\dfrac{p+1}{n}}h(x)\mathrm{d}x\leq\dfrac{1}{n}h\left(\dfrac{p}{n}\right)\quad(0.5+0.5=1\;pt)$$
 
b) en déduire que :
$$S_{n}+\dfrac{1}{n}h\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\leq A\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\leq S_{n}\quad0.5+0.5=1\;pt)$$
 
et $$A\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\leq S_{n}\leq A\left(1-\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}h\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\quad(0.5+0.5=1\;pt)$$
 
c) Déduire de 1) que  $$\lim_{n\rightarrow +\infty}S(n)=\ln 4\quad(0.5\;pt)$$
 
 
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