Bac maths, Pondicherry

4 points

 

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

Partie A

 

Cette partie constitue une restitution organisée de connaissances.

 

Soient $a\;,\ b\;,\ c\ $ et $\ d$ des réels tels que $(a\;,\ b\;,\ c) \neq (0\;,\ 0\;,\ 0).$

 

Soit $P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0.$

 

On considère le point $I$ de coordonnées $(x_{I}\;,\ y_{I}\;,\ z_{I})$ et le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(a\;,\ b\;,\ c)$

 

Le but de cette partie est de démontrer que la distance de $I$ au plan $P$ est égale à $$\dfrac{|ax_{I}+by_{I}+cz_{I}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$

 

1. Soit la droite $\Delta$ passant par $I$ et orthogonal au plan $P$. Déterminer en fonction de $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d\;,\ x_{I}\;,\ y_{I}$ et $z_{I}$ un système d'équations paramétrique de $\Delta.$

 

2. On note $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $P.$

 

a. Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{IH}=k\vec{n}.$

 

b. Déterminer l'expression de $k$ en fonction de $a\;,\ b\;,\ c\;,\ d\;,\ x_{I}\;,\ y_{I}$ et $z_{I}.$

 

c. En déduire que $$IH=\dfrac{|ax_{I}+by_{I}+cz_{I}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$

 

Partie B

 

Le plan $Q$ d'équation $x-y+z-11=0$ est tangent à une sphère $S$ de centre le point $\Omega$ de coordonnées $(1\;;\ -1\;;\ 3).$

 

1. Déterminer le rayon de la sphère $S$.

 

2. Déterminer un système d'équations paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $\Omega$ et orthogonal au plan $Q.$

 

3. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère $S$ et du plan $Q.$

Partie A

 

1. Une équation de $P$ est $ax+by+cz+d=0$ donc le vecteur $\vec{n}=(a\;,\ b\;,\ c)$ est un vecteur normal à $P.$ Or $P\perp\Delta$ donc $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta.$

 

$\Delta$ passe par $I(x_{I}\;,\ y_{I}\;,\ z_{I})$ et a pour vecteur directeur $\vec{n}(a\;,\ b\;,\ c)$ donc, une représentation paramétrique de $\Delta$ est : $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& x_{I}+at\\ y &=& y_{I}+bt\\ z &=& z_{I}+ct \end{array} \right.\;,\ t\in\mathbb{R}$$

 

2. a. $H\in\Delta$ donc $\overrightarrow{IH}\perp P\;,\ \overrightarrow{IH}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires, il existe $k$ réel tel que $\overrightarrow{IH}=k\vec{n}.$

 

b.

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{IH}=k\vec{n}&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x_{H}-x_{I} &=& ka\\ y_{H}-y_{I} &=& kb\\ z_{H}-z_{I} &=& kc \end{array} \right.\\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{lcl} x_{H} &=& x_{I}+ka\\ y_{H} &=& y_{I}+kb\\ z_{H} &=& z_{I}+kc \end{array} \right.\end{array}$ 

 

Or, $H\in P$ donc ses coordonnées vérifient l'équation de $P$ et ainsi,

 

$\begin{array}{rcl} a(x_{I}+ka)+b(y_{I}+kb)+c(z_{I}+kc)+d=0&\Leftrightarrow&k(a^{2}+b^{2}+c^{2})=-(ax_{I}+by_{I}+cz_{I}+d) \\ \\ &\Leftrightarrow&k=\dfrac{-(ax_{I}+by_{I}+cz_{I}+d)}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\end{array}$ 

 

c. $\overrightarrow{IH}=k\vec{n}$, donc $IH=|k|\times|\vec{n}|$ 

 

or $|k|=\dfrac{|(ax_{I}+by_{I}+cz_{I}+d)|}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ et $||\vec{n}||=\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ 

 

d'où $$IH=\dfrac{|(ax_{I}+by_{I}+cz_{I}+d)|}{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}$$

 

Partie B

 

1. $Q$ est tangent à $S$ donc la distance de $Q$ à $\Omega$ est égale à $r$ où $r$ est le rayon de $S.$

 

Or,

 

$\begin{array}{rcl} \text{dist}(Q\;;\ \Omega)&=&\dfrac{|x_{\Omega}-y_{\Omega}+z_{\Omega}-11|}{\sqrt{(1^{2}+(-1)^{2}+1^{2})}} \\ \\ &=&\dfrac{|1+1+3-11|}{\sqrt{3}} \\ \\ &=&\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\end{array}$

Le rayon de la sphère $S$ est égal à $\sqrt{3}$.

 

2. $\Delta$ est orthogonale au plan $Q$ donc un vecteur normal à $Q$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Or $\vec{n}(1\;;\ -1\;;\ 1)$ est un vecteur normal à $Q.$

 

De plus, $\Delta$ passe par $\Omega(1\;;\ -1_;;\ 3)$ donc une représentation paramétrique de $\Delta$ est $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& 1+t\\ y &=& -1-t\\ z &=& 3+t \end{array} \right.\;,\ t\in\mathbb{R}$$

 

3. $Q$ est tangent à $S$ donc il existe un unique point d'intersection entre $Q$ et $S$. Soit $M(x\;;\ y\;;\ z)$ ce point. 

 

La droite $\Delta$ est orthogonale à $Q$ et passe par le centre de $S$, donc $M$ appartient aussi à $\Delta$ et ainsi les coordonnées de $M$ vérifient les équations de $\Delta$ et $Q.$

 

On a donc :

 

$\begin{array}{rcl} (1+t)-(-1-t)+(3+t)-11=0&\Leftrightarrow&3t-6=0 \\ \\ &\Leftrightarrow& t=2\end{array}$

 

Donc, $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& 1+2=3\\ y &=& -1-2=-3\\ z &=& 3+2=5 \end{array} \right.$$

 

L'intersection de $Q$ et $S$ a pour coordonnées $(3\;;\ -3\;;\ 5).$