Bac Maths S1 S3 1er groupe 2009

Exercice 1 (4 pts)

Pendant l'année scolaire, la cantine d'un lycée propose souvent du riz.
Le premier jour de l'année, il y a deux $2$ chances sur $5$ qu'elle propose du riz.
Si elle en propose un jour, il y a une chance sur $3$ qu'elle en propose le lendemain.
Si elle n'en propose pas un jour, il y a une chance sur $3$ qu'elle n'en propose pas le lendemain.
On appelle $J_{n}$ l'événement "la cantine propose du riz le $n^{ième}$ jour" et $K_{n}$ l'événement
"la cantine n'en propose pas le $n^{ième}$ jour".
 
Soit $p_{n}$ la probabilité de l'événement $J_{n}$
 
1) Déterminer $p\left(J_{2}/ J_{1}\right)$ et $p\left(J_{2}/ K_{1}\right)$
 
En déduire $p_{2}\quad(0.25+0.5+0.5=1.25\;pt)$
 
2) Montrer que $p_{n}=-\dfrac{1}{3}p_{n-1}+\dfrac{2}{3}\quad(0.75\;pt)$
 
3) Soit $(u_{n})_{n}\in\mathbb{N}^{\ast}$ la suite définie par $u_{n}=p_{n}-\dfrac{1}{2}$
 
a) Montrer que $(u_{n})_{n}\in\mathbb{N}^{\ast}$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.$\quad(0.5\;pt)$
 
b) Calculer $u_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n.\quad( 0.5+0.25=0.75\;pt)$
 
c) Un élève de l'établissement, fin mathématicien, ne mange à la cantine que les jours pairs.
 
Montrer qu'à chaque fois qu'il se rend à la cantine la probabilité qu'il a manger du riz est comprise entre $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{8}{15}\quad(0.75\;pt)$
 

Exercice 2 (4 pts)

Dans un système de numération de base $a$, on considère les nombres
 
$A=\overline{211}\;,\ B=\overline{312}$ et $C=\overline{133032}$
 
1) Expliquer pourquoi $a$ doit être strictement supérieur à 3 $\quad(0.25\;pt)$
 
2) a) Sachant que $C=A\times B$, montrer que $a^{3}-3a^{2}-2a-8=0\quad(0.5\;pt)$
 
b) En déduire que $a$ divise 8 $\quad(0.25\;pt)$
 
c) Déterminer alors $a\quad(0.5\;pt)$
 
3) L'écriture d'un nombre dans le système décimal est 214, écrire ce nombre dans la base 4 $\quad(0.25\;pt)$
 
4) Dans cette question on suppose que $a=4$
 
a) Écrire $A\;,\ B\;$ et $\;C$ dans le système décimal.$\quad(0.75\;pt)$
 
b) Montrer alors que $C=A\times B=ppcm (A\;,\ B)$
 
En déduire que l'équation : $Ax+By=1$ a des solutions dans $\mathbb{Z}^{2}\quad(0.25+0.5=0.75\;pt)$
 
5) On considère dans $\mathbb{Z}^{2}$ l'équation : $37+54y=1$
 
a) Vérifier que $(19\;,\ -13)$ est une solution de cette équation. $\quad(0.25\;pt)$
 
b) Résoudre cette équation. $\quad(0.5\;pt)$
 

Problème (12 points)

Le problème est composé de trois parties $A\;,\ B$ et $C.$
 
Les parties $B$ et $C$ peuvent être traitées indépendamment de la partie $A$
 
Le plan euclidien $(P)$ est muni d'un repère orthonormé $\mathcal{R}=(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$
 
On appelle $f_{a}$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
 
$f_{a}(x)=\dfrac{x}{ax-a+1}$, où $a$ est un réel différent de 0 et de 1.
 
On note $C_{a}$ la courbe représentative de $f_{a}$ dans le repère $\mathcal{R}$
 
Partie A : (5.5 pts)
 
1) a) Montrer que l'application $\varphi$ de $(P)$ dans $(P)$ définie analytiquement par :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lll} x' &=& -y+1 \\ y' &=& -x+1 \end{array}\right.$$
 
est la composée d'une symétrie orthogonale et d'une translation que l'on précisera. $\quad(0.5\;pt)$
 
b) Déterminer l'ensemble de définition $D_{f_{a}}$ de $f_{a}$ et montrer que la courbe $C_{a}$ est globalement invariante par $\varphi\quad(0.5\;pt)$
 
2) a) Montrer que toutes les courbes $C_{a}$ passent par deux points fixes indépendants de $a\quad(0.25\;pt)$
 
b) Déterminer les points fixes de $f_{a}$, c'est à dire les réels $l$ tels que $f_{a}(l)=l\quad(0.25\;pt)$
 
3) a) Etudier les variations de $f_{a}$ ; on discutera suivant les valeurs de $a\quad(0.5\;pt)$
 
b) Construire dans le repère $\mathcal{R}$ les courbes $C_{-2}\;,\ C_{0.5}$
 
(On prendra pour unité graphique 1\;cm)$\quad(0.5+0.25=0.75\;pt)$
 
c) Construire dans un mème repère orthonormé d'unité graphique 2\;cm les courbes $C_{1.5}$ et $C_{2}\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$
 
4) Soit $F$ la fonction de $]-\infty\;,\ 1[$ dans $\mathbb{R}$ définie par :
 
$$F(a)=\int_{0}^{1}f_{a}(x)\mathrm{d}x\;\text{ et }\;F(0)=\int_{0}^{1}x\mathrm{d}x$$
 
a) Montrer que pour tout $a<1$ et $a\neq 0$, la fonction $x\mapsto ax-a+1$ est strictement positive dans $[0\;,\ 1]$
 
Etablir alors que la fonction $F$ est définie sur $]-\infty\;,\ 1[.\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$
 
b) En faisant le changement de variable $t=ax-a+1$, vérifier que pour tout $a$ différent de 0 et strictement inférieur à 1 on a :
$$F(a)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1-a}{a^{2}}\ln(1-a)$$
 
Déterminer alors $\lim_{a\rightarrow 1^{-}}F(a)\;\text{et}\ \lim_{a\rightarrow -\infty}F(a).\quad(0.25\times 3=0.75\;pt)$
 
c) Démontrer que pour tout $a$ différent de 0 et strictement inférieur à 1 on a :
$$\forall\;x\in[0\;,\ 1]\;,\ f_{a}(x)\in[0\;,\ 1]\qquad(0.25\;pt)$$
 
d) En utilisant le résultat de la question c), montrer que pour tout $a$ différent de 0 et  strictement inférieur à 1 on a :
$$\forall\;x\in[0\;,\ 1]\;,\ |f_{a}(x)-x|\leq|a|$$
 
Calculer alors $\lim_{a\rightarrow 0}|F(a)-F(0)|\;\text{puis}\;\lim_{a\rightarrow 0}F(a).\quad(0.25\times 3=0.75\;pt)$
 
La fonction $F$ est-elle continue au point 0 ?
 
Partie B : (4 pts)
 
On note  $\Omega_{a}$ le point de coordonnées $\left(1-\dfrac{1}{a}\;,\ \dfrac{1}{a}\right)$
dans le repère $\mathcal{R}$ et on considère les vecteurs
$$\vec{e}_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i}-\vec{j})\;\text{et}\;\vec{e}_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vec{i}+\vec{j})$$
 
1) a) Montrer que $\mathcal{R}_{a}=(\Omega\;,\ \vec{e}_{1}\ ,\ \vec{e}_{2})$ est un repère orthonormé du plan. $\quad(0,25\;pt)$
 
b) Soit $M$ un point du plan de couple de coordonnées $(x\;,\ y)$ dans le repère $\mathcal{R}$
 
Appelons $(X\;,\ Y)$ son couple de coordonnées dans le repère $\mathcal{R}.$ En utilisant la relation vectorielle :
 
$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O\Omega_{a}}+\overrightarrow{\Omega_{a}M}$, montrer que :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{lll} x &=& 1-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}(X+Y) \\ \\ y &=& \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-X+Y) \end{array}\right.\qquad(0.5\;pt)$$
 
c) Vérifier que la courbe $(C_{a})$ a pour équation $Y^{2}-X^{2}=\dfrac{2(a-1)}{a}^{2}$ dans le repère $\mathcal{R}_{a}\quad(0.5\;pt)$
 
d) Déterminer la nature de $C_{a}$; préciser ses sommets $S_{a}$ et $S'_{a}$ suivant les valeurs de $a\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$
 
2) Soit $(D)$ la droite d'équation $y=-x+1$ dans le repère $\mathcal{R}$
 
Montrer que $(C_{a})$ a ses sommets sur $(D)$ si et seulement si $a<1.\quad(0.5\;pt)$
 
3) On suppose que $a>1.$
 
a) Calculer en fonction de $a$ les distances  $\Omega_{a}S_{a}$ et $\Omega_{2}\Omega_{a}$
 
Pour calculer $\Omega_{a}S_{a}$, on peut se placer dans le repère $\mathcal{R}_{a}.$
 
Pour calculer $\Omega_{2}\Omega_{a}$, on peut se placer dans le repère $\mathcal{R}\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$
 
b) En appliquant le théorème de Pythagore au triangle $\Omega_{2}\Omega_{a}S_{a}$, calculer $\Omega_{2}S_{a}\quad(0.5\;pt)$ 
 
c) En déduire que les sommets de $C_{a}$ sont sur un cercle de centre $\Omega_{2}$ dont on précisera le
rayon. $\quad(0,5\;pt)$
 
Partie C : (2,5 pts)
 
Dans cette partie, $a$ est un élément de l'intervalle $]0\;,\ [$
 
Soit $u_{0}$ un élément de $[0\;,\ 1]$ et $(u_{n})$ la suite définie par son premier terme $u_{0}$ et par la
relation de récurrence : $u_{n+1}=f_{a}(u_{n})$
 
1) a) Montrer que la fonction $f_{a}$ est strictement croissante dans $[0\;,\ 1]$
 
Quel est l'image de l'intervalle $[0\;,\ 1]$ par $f_{a}$ ? $\quad(0.5+0.25+0.25=0.5\;pt)$
 
b) Montrer que la suite $(u_{n})$ est partout définie et que $\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n}\in[0\;,\ 1]$
 
Que peut-on dire de la suite $(u_{n})$ si $u_{0}=0$ ? Si $u_{0}=1$ ? $\quad(0.5+0.25+0.25=1\;pt)$
 
2) On supose que la suite $u_{0}$ est différent de 0 et 1
 
a) Vérifier que la suite $(u_{n})$ est strictement monotone.$\quad(0.5\;pt)$
 
b) En déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite.$\quad(0.25+0.25=0.5\;pt)$
 
 
 

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