Composition - Ts2
Exercice 1
1. Répondre par vrai ou faux.
a. Toute suite croissante et minorée converge.
b. Soit $\left(U_{n}\right)_{n\geq n_{0}}$ une suite définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} u_{n_{0}}&=&x_{0}\\ u_{u+1}&=&f\left(u_{n}\right) \end{array}\right.$$
où $f$ est une fonction continue et $l\in\mathbb{R}$
$\lim\limits_{n\longrightarrow\;,+\infty}u_{n}=l$ alors $f(l)=l$
2. Soit la fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ puis construire sa courbe .
NB : On prendra l'échelle $\,cm$ correspond à une unité.
3. On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq }$ définie par :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} u_{0}&=&0\\ u_{n+1}&=&\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} \end{array}\right.$$
a. Placer les trois premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.
b. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2-\dfrac{5}{u_{n}+4}$
c. Démontrer par récurrence que $\forall n\geq 0\;,0\leq u_{n}\leq 1$
d. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
e. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $l$
Exercice 2
Les parties $A$ et $B$ indépendantes
Partie A
On donne les complexes $z_{1}=1+i\sqrt{3}$ et $z_{2}=1+i$
1. Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ et $z_{2}$
2. En déduire la forme trigonométrique de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$
3. Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$
4. En utilisant les questions $2.$ et $3.$ donner les valeurs exactes de cos $\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et sin $\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
Partie B
Dans le plan complexe $\mathbb{P}$ muni d'un repère orthonormal direct $\left(0\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $2i$, $b=3$ et $c=-3-i$
Soit le nombre complexe $Z=\dfrac{a-b}{a-c}$
1. Donner une interprétation géométrique du module et d'un argument de $Z.$
2. Donner le module et un argument de $Z.$
3. En déduire la nature du triangle $ABC.$
Problème
Partie $A$ :
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x^{3}+x^{2}-1$
1. Dresser le tableau de variation de la fonction $g.$
2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ puis déduire que $0.6\leq\alpha\leq 0.7.$
3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$
Partie $B$
Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x^{3}x^{2}+1}{3x}&\text{ si }x<1\\ x+1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}&\text{ si }x\geq 1 \end{array}\right.$ et $(C)$ la courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormal.
4. Montrer que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}{0}$
5. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.
6. En déduire l'équation de l'asymptote verticale à la courbe de $f.$
7. Étudier la continuité de $f$ en $1.$
8. Montrer que : $\forall x< 1$, $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^{2}+2x-1}{3x}$
9; Montrer que :$\forall x> 1$, $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+\sqrt{x}}$
10. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ puis interpréter graphiquement les résultats.
11. Montrer que $\forall x< 1$, $f^{'}(x)=\dfrac{g(x)}{3x^{2}}$
12. Montrer que $\forall x> 1$, $f'(x)=1+\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$
13. Dresser le tableau de variation de $f$
14. Montrer que la droite $(D)$ : $y=x+1$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $\infty$
15. Étudier la position relative de la courbe de $f$ par rapport à
$(D)$
16. Déterminer la nature de la branche infinie de $f$ en $\infty$
17. Construire $(C).$
On prendra $a=0.5$
Partie C
On considère la fonction $h$ définie sur $]-\infty\ ;\ 0[$ par $h(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}+1}{3x^{2}}$
1. Montrer que $h$ admet des primitives sur $]-\infty\ ;\ 0[$
2. Déterminer la primitive de $h$ sur $]-\infty\ ;\ 1[$ qui s'annule en $-1.$
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