Devoir n°11 - TS1

Soit $m$ un nombre complexe différent de $1.$

 

I. On considère dans l'ensemble $\mathcal{C}$ ,l'équation d'inconnue $x$ :

 

$(E)\ :\ x^{2}-(1-i)(m+1)z-i\left(m^{2}+1\right)=0$

 

1.a. Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est : $\delta=[(1+i)(m-1)]^{2}$

 

b. Résoudre dans $\mathcal{C}$ l'équation $(E)$ 

 

c. Déterminer sous forme algébrique les deux valeurs du complexe $m$ pour que le produit des deux solutions de l'équation $(E)$ soit égal à $1.$

 

2. On pose $z_{1}=1-im$ et $z_{2}=m-i$

 

Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme trigonométrique dans le cas où $m=\mathrm{e}^{i\theta}$ avec $\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi.$

 

II. Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé direct

 

$\left(O\ ;\ \vec{e_{1}}\;,\ \vec{e_{2}}\right)$

 

On considère les points $M$, $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixes respectivement : $m$ , $z_{1}$ et $z_{2}.$

 

1. Déterminer l'ensemble des points $M$ pour lesquels les points $M$, $M_{1}$ et $M_{2}$ sont alignés.

 

2. Montrer que le nombre complexe $\dfrac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}-m}$ est un imaginaire pur si et seulement si

$$\mathfrak{R\mathrm{e}}(m)+\mathfrak{J}m(m)=1$$

Soit $f$ la fonction définie sur $[1\;, +\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{1}{x}-\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)$

 

En utilisant la fonction $f$, on se propose de déterminer la limite de la suite de terme général $S_{n}=\Sigma^{\lim\limits k}=n^{2n}$

 

1. Soit k un entier naturel non nul. 

 

Établir les relations suivantes :

 

a. $\dfrac{1}{k+1}\leq\int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}\leq \dfrac{1}{k}$

 

b. $\int_{k}^{k+1}\dfrac{dx}{x}=\dfrac{1}{k}-f(k)$

 

2.a. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}$

 

b. Soit $\begin{array}{rcl} U_{n}&=&\dfrac{1}{n(n+1)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}+\ldots\ldots\ldots+\dfrac{1}{2n(2n+1)}\\&=&\Sigma_{\lim\limits k=n}^{2n}\dfrac{1}{k(k+1)} \end{array}$

 

Calcul $U_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer $\lim\limits_{n\longrightarrow }U_{n}$

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $I=\left(]-\dfrac{1}{2}\;,\ \infty\right)]$ par :

 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{\ln(1+2x)}{x}\quad\text{si }\neq 0\\ f(0)&=&2 \end{array}\right.$ et soit $\left(Cf\right)$ la courbe représentative de la fonction $f.$

 

1. Montrer que la fonction $f$ est continue en $0.$

 

2. Pour tout réel non nul $\alpha$ de l'intervalle $I$, on considère la fonction numérique $h_{a}$ définie sur $I$ par 

 

$h_{a}(x)=(\ln(1+2a)-2a)x^{2}-(\ln(1+2x)-2x)a^{2}$

 

a. Calculer $h_{a}(a)$ et $h_{a}(0)$,en déduire qu'il existe un réel $b$ compris entre $0$ et $\alpha$ tel que :

 

$\dfrac{\ln(1+2a)-2a}{a^{2}}=\dfrac{-2}{1+2b}$

 

b. En déduire que $f$ est dérivable en $0$ et que $f'(0)=-2.$

 

3.a. Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $I{0}$ et que :

 

$\begin{array}{rcl} \forall x\in I{0}\  ; \ f'(x)&=&\dfrac{g(x)}{x^{2}}{(1+2x)}\\ &\text{ avec }&g(x)\\&=&2x-(1+2x)\ln(1+2x) \end{array}$

 

b. Montrer que : $\forall x\in I{0}$ ; $g(x)<0$

 

c. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $I$

 

4.a. Calculer les deux limites $\lim\limits_{x\longrightarrow -\dfrac{1}{2}}^{+}f(x)$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}f(x)$ puis interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.

 

b. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ de l'intervalle $[1\ ;\ 2]$ tel que : $f(x)=1.$

 

c. Tracer la courbe $\left(Cf)\right)$ $\text{(On prend }\alpha\approx 1.3)$

1. On considère la fonction $\phi$ définie sur l'intervalle $I$ par :

 

$\phi(x)=\ln(1+2x)$ et on pose $J=[1\ ;\ \alpha].$

 

a. Montrer que la fonction $\phi$ est dérivable sur $I$ et que :

 

$\forall x\geq 1$ ; $0<\phi'(x)\leq\dfrac{2}{3}$

 

b. vérifier que : $\phi(\alpha)=\alpha$ et que $\phi(J)\subset J.$

 

2. On considère la suite numérique $\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : 

 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{0}&=&1\\ U_{n+1}&=&\ln\left(1+2U_{n}\right)\;,\text { pour tout } n\in\mathbb{N} \end{array}\right.$

 

a. Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}$ ; $U_{n}\in j$

 

b. Montrer que : $\forall n\in\mathbb{N}\ ;\ \left|U_{n}-\alpha\right|\leq\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.$

 

c. En déduire que $\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente et déterminer sa limite. 

 

On considère la fonction numérique $F$ définie sur l'intervalle $I$ par : $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$

 

a. Montrer que la fonction $F$ est dérivable $I$ puis calculer $F'(x)$

 

b. En déduire les variations de la fonction $F$ sur $I$

 

2.a. Montre que : $\forall x\geq 1$ ; $F(x)\geq\int_{1}^{x}\dfrac{\ln(1+2t)}{1+2t}dt.$

 

b.  En déduire que : $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}F(x)=+\infty$

 

3. On suppose que la fonction $F$ admet une limite finie $I$ à droite en $-\dfrac{1}{2}$

 

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[-\dfrac{1}{2}\;,\ +\infty[$ par :

 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} h(x)&=&F(x)\quad \text{ si }x\in I\\ h\left(-\dfrac{1}{2}\right)&=&l \end{array}\right.$

 

En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :

 

$\forall x\in I\, F(x)-l\geq f(x)\left(x+\dfrac{1}{2})\right)$

 

b) Étudier la dérivabilité de $h$ à droite en $-\dfrac{1}{2}$