Devoir n°13 Maths - TL

Une usine produit des chaussures pour enfants.

 

On suppose qu'en l'an $2020$ sa production annuelle s'élève à $200 000$ paires de chaussures et que production augmenté de $5\%$ par an.

 

On note $P_{n}$ le nombre de paires chaussures fabriquées en l'an $(2020+n)$

 

1.a. Préciser $P_{N}$ puis calculer $P_{1}$ et $P_{2}$

 

b. Établir la relation entre $P_{n}$ et $P_{n+1}$

 

c. En déduire que la suite $\left(P_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q=1.5$

 

d. Exprimer, pour tout entier $n$, $P_{n}$ en fonction de $n$

 

2. Quelle sera la production annuelle de l'usine en l'an $2030$?

On donne la série double :

 

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&50&100&60&120&120&100&150&160\\ \hline y_{i}&15&20&15&30&25&25&40&35\\ \hline \end{array}$$

 

1. Représenter le nuage de points $\left(x_{i}\ ;\ y_{i}\right)$ cette série statistique dans un repère orthogonal.

 

Échelle :

abscisse :$1\,cm$ pour $15$ : en ordonnée : $1\,cm$ pour $5$

 

2. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ et le placer dans le repère.

 

3. Calculer la variance de $X$, la variance de $Y$ et la covariance de $X$ et $Y$

 

4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre $X$ et $Y$ puis interpréter le résultat.

 

5. Donner une équation de la droite de régression de $Y$ en $X.$

 

Estimer $Y$ si $x=200.$

Soit $f$ la fonction définie par :

 

$$f(x)=\dfrac{x^{2}}{1-x}$$

 

Et $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(0\;,\overrightarrow{i}\;,\overrightarrow{j}\right)$

 

1. Déterminer $\left(\mathbb{D_{f}}\right)$ l'ensemble de définition de $f$

 

2. Calculer les limites suivantes :

 

$\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}f(x)$ ;

 

$\lim\limits_{x\longrightarrow 1^{-}}f(x)$ ;

 

$\lim\limits_{x\longrightarrow 1^{+}}f(x)$ et

 

$\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f(x)$

 

3. En déduire l'équation de l'asymptote verticale à $\left(\mathcal{C}\right)$

 

4. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{D_{f}}$ et étudier son signe.

 

5. Dresser le tableau de variation de $f$

 

6.a. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x\in\mathbb{D_{f}}$,

 

$$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{1-x}$$

 

b. Monter que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=-x-1$ est asymptote oblique à en $-\infty$ et en $+\infty$

 

c. Étudier la position relative de $\left(\mathbb{D_{f}}\right)$ et de $(D)$

 

7. Montrer que le point $I\begin{pmatrix} 1\\-2\end{pmatrix}$ est un centre de symétrie pour $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$

 

8. Donner une équation de la tangente $ \mathcal{T}$ à $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ au point d'abscisse $O$

 

9. Construire $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et ses asymptotes