Devoir $n^{\circ}$24 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soit $ABC$ un triangle quelconque et $A\;,\ B\;,\ C$ les trois angles intérieurs de celui-ci.
 
Montrer qu'on a toujours : 
 
$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$

Exercice 2

Soit $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ un repère orthonormal. 
 
On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $I(4\;,\ -1)$ et de rayon $\sqrt{5}$ et le point $A(9\;,\ 4).$
 
1) Vérifier que $A$ est extérieur au cercle $\mathcal{C}.$
 
2) Déterminer les équations des tangentes à $\mathcal{C}$ issues de $A.$

Exercice 3

Résoudre :
 
a) Dans $\mathbb{R}$ : $\sin x+\cos x=\dfrac{1}{2\sin x}$
 
b) Dans $[-\pi\;;\ \pi]$ : $\cos x+\cos 2x+\cos 3x\leq 0.$

Problème

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ de rayon $R$ ; on considère un point $F$ intérieur au cercle, et deux droites $\Delta\text{ et }\Delta'$ sécantes en $F$ et orthogonales.
 
$\Delta\text{ coupe }\mathcal{C}\text{ en }A\text{ et }\mathcal{C}\text{ et }\Delta'$ coupe $\mathcal{C}\text{ en }B\text{ et }D.$(Faire une figure).
 
On désigne par $M\text{ et }N$ les milieux respectifs de $[AC]\text{ et }[BD].$
 
I. Calcul de $AB^{2}+CD^{2}\text{ et }AD^{2}+CD^{2}$
 
1) On désigne par $G$ l'isobarycentre de $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D.$
 
a) Montrer que $G$ est le milieu de $[MN].$
 
b) Démontrer que le quadrilatère $OMFN$ est un rectangle ;
 
En déduire que $G$ est le milieu de $[OF]$
 
2) Démontrer que $\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{FB}=OF^{2}-R^{2}.$
 
On pourra faire intervenir les points $A'\text{ et }B'$ diamétralement opposés à $A\text{ et }B.$
 
3) Démontrer que : $FA^{2}+FB^{2}+FC^{2}+FD^{2}=4R^{2}.$
 
En déduire que $AB^{2}+CD^{2}=AD^{2}+CB^{2}=4R^{2}.$
 
4) On fait pivoter les droites $\Delta\text{ et }\Delta'$ autour de $F$ de façon à ce qu'elles restent orthogonales. 
 
Ces droites permettent de définir les points $A\;,\ B\;,\ C\text{ et }D$ ainsi que leur isobarycentre $G.$
 
Que peut-on dire du point $G$, de la quantité $FA^{2}+FB^{2}+FC^{2}+FD^{2}$ , ainsi que de $AB^{2}+CD^{2}\text{ et de }AD^{2}+CB^{2}$ ?
 
II. Points cocycliques
 
On désigne par $I\;,\ J\;,\ K\text{ et }L$ les milieux respectifs des segments $[AB]\;,\ [CD]\;,\ [BC]\;,\ [DA].$
 
On appelle $P\;,\ Q\;,\ S\text{ et }T$ les projetés orthogonaux de $F$ sur ces cordes.
 
1) Démontrer que $IJKL$ est un rectangle de centre $G.$ On appelle $\Gamma$ son cercle circonscrit..
 
2) Montrer (en utilisant I. 2) que $\overrightarrow{FI}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ ; en déduire que $Q$ appartient à $\Gamma.$
 
3) Montrer que $\Gamma$ contient les points $P\;,\ S\text{ et }T.$
 
4) On veut à présent calculer le rayon $r\text{ de }\Gamma$ en fonction de $\mathbb{R}\text{ et de }OF.$

Démontrer, en utilisant la formule de la médiane , que : $r^{2}=GI^{2}=\dfrac{1}{2}\left[R^{2}-\dfrac{1}{2}OF^{2}\right].$    

                                                                                 Durée 4h                                                                                 

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