Devoir $n^{\circ}$25 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soient $a\text{ et }b$ deux entiers naturels tels que $b=a+1.$
 
1) Démontrer que pour tout entier naturel $n\geq 1\;,\ a^{2}+b^{2n}-1$ est divisible par $ab.$
 
2) En déduire un diviseur de $121+12^{2004}-1.$
 
3) Démontrer que si $n$ est impair, $X^{n}+1$ est factorisable par $X+1.$
 
4) Soit $P(X)\text{ et }Q(X)$ deux polynômes tels que : $Q(X)=P(X)+1.$
 
Démontrer que $[P(X)]^{2n}+[Q(X)]^{n-1}$ est factorisable par $P(X)\cdot Q(X).$

Exercice 2

$Les\ deux\ questions\ sont\ indépendantes.$
 
1) Soit $f$ une fonction et $k$ un réel strictement négatif tels que, pour tout réel $x$, on ait :
$$f(x-2k)=-f(x+k)$$
 
Montrer que $f$ est périodique et préciser la période.
 
2) Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-4}}{1-\sqrt{x^{2}-4}}.$
 
a) Déterminer son ensemble de définition.
 
b) Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel $y$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=y$ , où $x$ est l'inconnue réelle.
 
c) L'application $f\ :\ \mathcal{D}\Longrightarrow\mathbb{R}$ est-elle injective ? surjective ?
 
d) Déterminer deux parties $E\text{ et }F\text{ de }\mathbb{R}$ , les plus grandes possibles, pour l'application
\begin{eqnarray} g\ :\ E &\rightarrow & F\nonumber\\ x &\mapsto & f(x)\nonumber \end{eqnarray}
 
soit bijective. Définir alors $g^{-1}.$

Exercice 3

Soient $A\text{ et }B$ deux points d'une droite $(\Delta)$ , $a\text{ et }b$ deux nombres réels tels que : $0<a<b.$
 
1) Démontrer qu'il existe deux points $C\text{ et }D$ tels que $C$ soit le barycentre des points $(A\;,\ a)\text{ et }(B\;,\ b)$ , et $D$ soit le barycentre des points $(A\;,\ a)\text{ et }(B\;,\ -b).$
 
Préciser la position de ces points par rapport aux points $A\text{ et }B.$
 
2) La droite $(\Delta)$ est munie du repère $(A\;,\ B).$
 
Calculer, en fonction de $a\text{ et }b$, les abscisses des points $C\text{ et }D$ et vérifier que :
$$\dfrac{\overline{CA}}{\overline{CB}}=-\dfrac{\overline{DA}}{\overline{DB}}$$
 
3) Démontrer que :
 
a) $A$ est le barycentre des points $(C\;,\ a+b)\text{ et }(D\;,\ a-b)$ ;
 
b) $B$ est le barycentre des points $(C\ ,\ a+b)\text{ et }(D\;,\ b-a).$

Exercice 4

$Les\ parties\ 1\ et\ 2\ sont\ indépendantes.$
 
1) On donne un triangle $ABC$ et sa hauteur $AH.$
 
a) Prouver que : $\dfrac{HB}{\tan C}=\dfrac{HC}{\tan B}$ 
 
b) En déduire des nombres $p\;,\ q\text{ et }r$ tels que l'orthocentre du triangle soit le barycentre des points $A\;,\ B\text{ et }C$ affectés de ces coefficients.
 
c) Soit $G$ le centre de gravité du triangle et $P$ son orthocentre.
 
Prouver que si les droites $(GP)\text{ et }(BC)$ sont parallèles, alors $\tan B\tan C=3.$
 
d) Soit $[BD]$ une hauteur du triangle $ABC.$
 
Exprimer le vecteur $\overrightarrow{BD}$ sous la forme $\alpha\overrightarrow{AB}\beta\overrightarrow{AC}.$
 
2) On donne des points $A\;,\ B\;,\ C$ alignés sur un axe. On note respectivement $a\;,\ b\;,\ c$ leurs abscisses. 
 
Prouver que la somme $f(M)=(c-b)MA^{2}+(a-c) MB^{2}+(b-a)MC^{2}$ est indépendante  de $M.$

                                                                                 Durée 4h
 

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