Devoir $n^{\circ}3$ - 1er L

Classe: 
Première
 

Exercice 1 : 8 points

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation du second degré :
$$2x^{2}-x-10=0$$ 
2) On  considère le polynôme 
$$P(x)=2x^{3}-3x^{2}-9x+10$$
a) Calculer $P(1).$ En déduire une factorisation de $P(x)$ par une méthode de votre choix à préciser.
 
b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équation et inéquation suivantes :
$$P(x)=0\quad\text{ et }\quad P(x)\geq 0$$
c) En déduire les ensembles de définitions de chacune des fonctions suivantes :
$$f(x)=\dfrac{1}{P(x)}\quad\text{ et }\quad g(x)= \sqrt{P(x)}$$
3) Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système d'équations linéaires suivant par la méthode du PIVOT DE GAUSS.
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+2z&=&3\\ -2x+3y-4z&=&-5\\ 3x+2y+z&=&-1\end{array}\right.$$
 

Exercice 2 : 7 points

Soit la fonction numérique définie de $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ dans $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ qui à tout $x$ de $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ associe
$$f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$$
a) Justifier que $f$ est une application.
 
b) Vérifier que pour tout $y\neq 2$ on a :
$$\dfrac{-y-3}{2-y}=1-\dfrac{1}{2-y}$$
 
c) Démontrer que $f$ est une application bijective et définir l'application réciproque $f^{-1}$ de la bijection $f.$
 
2) Calculer les limites suivantes :
 
$\lim_{x\rightarrow +\infty}(-2x^{2}+x+3)\;;\quad\lim_{x\rightarrow -\infty}(5x^{3}+x-7)$
 
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{2x^{2}-3x+4}{x-1}\;;\quad\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x^{2}-x+5}{x^{2}+4}$
 

Exercice 3 : 5 points

1) Calculer :   $A_{5}^{2}\;;\ A_{6}^{3}\ $ et $\ A_{8}^{4}$
 
2) On donne l'ensemble $E=\{1\;,\ 2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6\;,\ 7\;,\ 8\}$
 
a) Donner un exemple d'une 4-liste d'éléments de l'ensemble $E.$ Combien peut-on définir au total de 4-listes d'éléments de l'ensemble $E\ ?$
 
b) Donner un arrangement de 4 éléments de l'ensemble $E.$ Combien y en a-t-il au total ?
 
c) Combien peut-on écrire de nombres de trois chiffres distincts avec les éléments de l'ensemble $E.$
 
 
 
$$\text{Durée 2 h 30}$$
Auteur: 
Abdoulaye Diagne

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