Devoir $n^{\circ}$35 1eS

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Soit un triangle $ABC$, on note $O$ le centre de son cercle circonscrit $\mathcal{C}$ et $H$ le point défini par
$$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$
 
1) Calculer les produits scalaires $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}$$
 
En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC.$
 
2) On note $A''$ le symétrique de $H$ par rapport au milieu $A'$ de $[BC].$ 
 
Démontrer que $O$ est le milieu de $[AA''].$ En déduire que $A''\in\mathcal{C}.$
 
3) On note $H_{1}$ le symétrique de $H$ par rapport à $(BC).$ 
 
Montrer que $\overrightarrow{H_{1}A''}\cdot\overrightarrow{AH}=0.$
 
En déduire que $H_{1}\in\mathcal{c}.$

Exercice 2

Dans l'espace $E$, rapporté à un repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, on considère les points $A(6\;,\ 0\;,\ 0)\text{ et }B(0\;,\ 6\;,\ 0).$ 
 
Faire une figure.
 
1) Déterminer le barycentre $G$ des points massifs $(O\;,\ 1)\;,\ (A\;,\ 2)$ et $(B\;,\ 3).$ 
 
Placer $G$ sur la figure.
 
2) Soit $C(0\;,\ 0\;,\ 4).$ Déterminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $M$ de $\mathcal{E}$ qui vérifient :
$$(\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})\cdot\overrightarrow{MC}=0$$
 
Donner une équation cartésienne de l'ensemble $\mathcal{S}.$
 
3) Déterminer l'intersection de $\mathcal{S}$ et du plan $\Pi$ d'équation $x=0.$
 
Dessiner cette intersection sur la figure.
 
4) Soit $\mathcal{P}$ l'ensemble des points $M$ tels que :
$$MO^{2}+2MA^{2}-3MB^{2}=24$$
 
Montrer que $G\in\mathcal{P}.$ 
 
Déterminer $\mathcal{P}.$

Exercice 3

On donne les fonctions $f$ et $g$ définies par : $$f(x)=-1+\sqrt{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{x^{2}}{1+|x|}$$
 
1) Montrer que $f\text{ et }g$ sont paires, continues et dérivables sur $\mathbb{R}.$
 
2) Étudier les limites de $f$ et $g$ quand $x$ tend vers $+\infty.$ 
 
Montrer que les courbes $\mathcal{C_{f}}$ et $\mathcal{c_{g}}$ de $f$ et $g$ admettent pour asymptotes deux droites ayant respectivement pour équation
$$y=x-1\quad\text{et}\quad y=-x-1$$
 
3) Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}\;,$
$$1+|x|\leq 1+\sqrt{1+x^{2}}\quad\text{et}\quad f(x)\leq g(x)$$
 
En déduire la position relative de $\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}.$
 
4) Étudier les variations de $f$ et $g.$ 
 
Placer les points de $\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}$ d'abscisses 1, 2, 3, 4.
 
Esquisser les courbes $\mathcal{C_{f}}\text{ et }\mathcal{C_{g}}$ dans le même repère.

Exercice 4

On donne dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(1\;,\ 1)$ et de rayon 1.
 
$P$ est un point variable de l'axe $(O\;,\ \vec{i})$ et $Q$ un point variable de l'axe $(O\;,\ \vec{j}).$
 
On pose $\overline{OP}=u$ et $\overline{OQ}=v.\ $ ($u$ et $v$ sont des réels non nuls).
 
1) Écrire une équation de la droite $(PQ)$ et Calculer la distance du point $A$ à la droite $(PQ)$ en fonction de $u$ et $v.$ 
 
Démontrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que $(PQ)$ soit tangente à $\mathcal{C}$ est $$uv-2(u+v)+2=0\quad(1)$$
 
2) On suppose dans toute la suite que (1) est vérifiée. 
 
On désigne par $M$ le milieu de $[PQ]$ et par $F$ le symétrique de $O$ par rapport à $A.$
 
a) Calculer les distances $OM$ et $FM$ en fonction de $u$ seulement.
 
On montrera que ces distances peuvent s'exprimer comme des fractions rationnelles de $u.$
 
Calculer $MO-FM.$
 
b) Calculer le périmètre du triangle $OPQ$ en fonction de $u.$
 
3) On considère la fonction $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\;,\ x\mapsto f(x)\;;$ avec $$f(x)=|x|+2\left|\dfrac{x-1}{x-2}\right|+\left|\dfrac{x^{2}-2x+2}{x-2}\right|.$$
 
a) Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur son ensemble de définition $\mathcal{D}.$ 
 
Étudier les limites de $f$ aux bornes de $\mathcal{D}.$ 
 
Étudier les branches infinies de la courbe $\mathcal{C_{f}}$ de $f.$
 
b) Calculer la fonction dérivée première de $f$, et étudier le signe de $f'(x).$ Dresser le tableau de variation de $f.$
 
c) Esquisser la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$
 

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