EPT - Épreuve de Mathématiques - 2010

 

1) Laquelle des égalités suivantes est vraie ?

 

a) $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha}\quad$ b) $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha\cdot\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$

 

c) $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}\quad$ d) $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

 

2) Donner un argument du nombre complexe : $\sqrt[12]{4+3\mathrm{i}}$

 

a) $12\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\quad$ b) $\dfrac{1}{12}\arctan\left(\dfrac{4}{3}\right)$

 

c) $\dfrac{1}{12}\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\quad$ d) $\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)$

 

3) Calculer $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{\sin 2x}$

 

a) $0\quad$ b) $\dfrac{1}{2}\quad$ c) $\dfrac{1}{4}\quad$ d) $-\infty$

 

4) Calculer $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}$

 

a) $0\quad$ b) $\dfrac{1}{2}\quad$ c) $\dfrac{1}{4}\quad$ d) $+\infty$

 

5) Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\sqrt[n]{\mathrm{e}}+\sqrt[n]{\mathrm{e}^{2}}+\ldots+\sqrt[n]{\mathrm{e}^{n}}}{n}$

 

a) $\mathrm{e}-1\quad$ b) $\dfrac{1}{\mathrm{e}}\quad$ c) $\mathrm{e}+1\quad$ d) $1$

 

6) Évaluer l'intégrale

$$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x\cos x}$$

a) $\ln\left|\dfrac{x}{2}\right|+c\quad$ b) $\ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+c$

 

c) $\ln|\tan x|+c\quad$ d) $\ln\left|\dfrac{x}{2}+\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+c$

 

7) Évaluer l'intégrale

$$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x}$$

a) $\ln\left|\sin x\right|+c\quad$ b) $\ln\left|\cos x\right|+c$

 

c) $\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)+c\quad$ d) $\ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|+c$

 

8) L'équation $\cos 2x+\sqrt{2}\sin 2x=-1$ a pour solutions dans $\mathbb{R}.$

 

a) $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}$

 

b) $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}$

 

c) $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}$

 

d) $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\;;\ k\in\mathbb{Z}$

 

9) Si $b>a$, laquelle des inégalités est vraie :

 

a) $b^{n}-a^{n}\geq nb^{n-1}(b-a)$

 

b) $b^{n}-a^{n}\leq nb^{n-1}(b-a)$

 

c) $b^{n}-a^{n}>nb^{n-1}(b-a)$

 

d) $b^{n}-a^{n}<nb^{n-1}(b-a)$

 

10) $\forall\;z\in\mathbb{Z}\;,\ \forall\;w\in\mathbb{C}$, la somme $S=z\bar{z}+w\bar{w}-w\bar{z}-z\bar{w}$ est :

 

a) un réel positif

 

b) un réel négatif

 

c) un imaginaire pur

 

d) un nombre complexe de la forme $a+\mathrm{i}b$

 

11) Donner l'image $M'$ du point $M\begin{pmatrix} 1\\0\\-1\end{pmatrix}$ par translation de vecteur $\vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}$

 

a) $M'\begin{pmatrix} 3\\0\\3\end{pmatrix}\quad$ b) $M'\begin{pmatrix} 0\\3\\3\end{pmatrix}$

 

c) $M'\begin{pmatrix} 1\\3\\1\end{pmatrix}\quad$ d) $M'\begin{pmatrix} 3\\3\\0\end{pmatrix}$

 

12) Donner l'image $M'$ du point $M\begin{pmatrix} 2\\1\\3\end{pmatrix}$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$

 

a) $M'\begin{pmatrix} 1\\ \\ \dfrac{1}{2}\\ \\\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\quad$ b) $M'\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \\1\\ \\\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}$

 

c) $M'\begin{pmatrix} \dfrac{3}{2}\\ \\ \dfrac{1}{2}\\ \\1\end{pmatrix}\quad$ d) $M'\begin{pmatrix} 1\\ \\ \dfrac{3}{2}\\ \\ \dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$

 

13) Au début d'une certaine année appelée $1^{\text{ere}}$ année, l'effectif de la population d'un pays est $P_{1}.$ Chaque année, l'effectif s'accroit du $\dfrac{1}{50}$ de sa valeur. L'effectif $P_{n}$ de la population au début de la $4^{\text{e}}$ année est :

 

a) $P_{n}=P_{1}+P_{1}\left(\dfrac{51}{50}\right)^{n}\quad$ b) $P_{n}=P_{1}\times\left(\dfrac{51}{50}\right)^{n-1}$ 

 

c) $P_{n}=P_{1}\times\left(\dfrac{51}{50}\right)^{n}\quad$ d) $P_{n}=P_{1}+P_{1}\left(\dfrac{51}{50}\right)^{n-1}$

 

14) Donner le nombre de termes $n$ et la raison $q$ d'une progression géométrique sachant que le premier terme est $3$, le dernier terme $192$ et la somme des termes $381.$

 

a) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} n&=&7\\q&=&3\end{array}\right.\quad$ b) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} n&=&6\\q&=&2\end{array}\right.$

 

c) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} n&=&7\\q&=&2\end{array}\right.\quad$ d) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} n&=&8\\q&=&2\end{array}\right.$

 

15) Donner la solution $S$ de l'équation : $2(2x-1)<3\sqrt{(x+2)(3-x)}$

 

a) $S=]-2\;;\ +2]\quad$ b) $S=\left[-2\;;\ \dfrac{1}{2}\right[$

 

c) $S=\left[\dfrac{1}{2}\;;\ 2\right[\quad$ d) $S=[-2\;;\ +2[$

 

16) Donner la valeur de $\ell=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{x}$

 

a) $\ell=2\quad$ b) $\ell=1\quad$ c) $\ell=\dfrac{1}{2}\quad$ d) $\ell=\mathrm{e}$

 

17) Donner la valeur de $\ell=\lim\limits_{x\to 0}x^{2}\ln x$

 

a) $\ell=+\infty\quad$ b) $\ell=-\infty\quad$ c) $\ell=1\quad$ d) $\ell=0$

 

18) La dérivée en $0$ de la fonction définie par :

 

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl}\mathrm{e}^{-\tfrac{1}{x^{2}}} &\text{si}&x\neq 0\\0&\text{si}&x=0\end{array}\right.$ est :

 

a) $f'(0)=\mathrm{e}\quad$ b) $f'(0)=0\quad$ c) $f'(0)=1\quad$ d) $f'(0)=-1$

 

19) La dérivée en $0$ de la fonction définie par :

 

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccl} x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)&\text{si}&x\neq 0\\0&\text{si}&x=0\end{array}\right.$ est :

 

a) $f'(0)=2\quad$ b) $f'(0)=\dfrac{1}{2}\quad$ c) $f'(0)=1\quad$ d) $f'(0)=0$

 

20) Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}}\ $ et $\ u_{1}=1.$ Alors :

 

a) $\lim\limits_{n\to +\infty}(u_{n})=\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{5})\quad$ b) $\lim\limits_{n\to +\infty}(u_{n})=\sqrt{5}$

 

c) $\lim\limits_{n\to +\infty}(u_{n})=1+\sqrt{5}\quad$ d) $\lim\limits_{n\to +\infty}(u_{n})=\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\quad$

 

 

$$\text{Durée 45 minutes}$$