Exercices d'entrainement types du Bac : Arithmétique

Classe: 
Terminale

I. Congruence et divisibilité

Exercice 1

1) Montrer que si $a|(2n+3)$ et $a|(5n+3)$ alors $a|9$
 
2) Montrer que $x(x+2)(x+4)$ est un multiple de 3
 
3) Montrer que $7^{n}-1$ est un multiple de 6

Exercice 2

1) Déterminer les entiers naturels $p$ tels que $2^{p}-1$ soit divisible par 31.
 
2) Trouver le reste de la division euclidienne de $261^{2002}$ par 7.
 
3) Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel $n$, le reste de la division euclidienne de $2^{n}$ par 7.

Exercice 3

1) Montrer que $\forall n$ $A=3^{n+3}-4^{4n+2}$ est divisible par 11
 
2) Déterminer le reste de la division de $7^{2002}$ par 9

Exercice 4

Démontrer les critères suivants :
 
Divisibilité par 5
 
$n$ est divisible par 5 si et seulement si $a_{n}+a_{n-1}+\ldots +a_{1}+a_{0}$ est divisible par 5.
 
Divisibilité par 9
 
$n$ est divisible par 9 si et seulement si $a_{n}+a_{n-1}+\ldots +a_{1}+a_{0}$ est divisible par 9
 
Divisibilité par 11
 
$n$ est divisible par 11 si et seulement si $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}$ est divisible par 11
 
Conjecturer puis démontrer des critères de divisibilité par 13, 17, 19 et 25.
 

II. Théorèmes de Bezout et de Gauss

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{Z}^{2}$
 
a) $3x=5y$
 
b) $14x=6y$
 
c) $15x+12y=3$
 
d) $945x-1275y=15$

Exercice 2

1) Prouver que l'équation $23x-17y=1$ a au moins une solution dans $\mathbb{Z}^{2}.$
 
2) Déterminer une solution de cette équation.
 
3) Déterminer $S$, ensemble des solutions de cette équation dans $\mathbb{Z}^{2}.$
 
4) En déduire $S'$, ensemble des solutions de cette équation dans $\mathbb{Z}^{2}$ de l'équation $23x-17y=6.$
 
5) Déduire de l'étude précédente les entiers naturels $A$ inférieurs à 1000 tels que dans la division de $A$ par 23, le reste soit 2, et dans celle de $A$ par 17, le reste soit 8.

Exercice 3

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les nombres $$a_{n}=4\times 10^{n}-1\;,\quad b_{n}=2\times 10^{n}-1\text{ et }c_{n}=2\times 10^{n}+1$$ 
 
1) a) Calculer $a_{1}\;,\ b_{1}\;,\ c_{1}\;,\ a_{2}\;,\ b_{2}\;,\ c_{2}\;,\ a_{3}\;,\ b_{3}\;,\ c_{3}.$
 
b) Combien les écritures décimales des nombres $a_{n}$ et $c_{n}$ ont-elles de chiffres ?
 
Montrer que $a_{n}$ et $c_{n}$ sont divisibles par 3.
 
c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100, que $b_{3}$ est premier.
 
d) Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n\;,\ b_{n}\times c_{n}=a_{2n}.$
 
En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de $a_{6}.$
 
e) Montrer que $PGCD(b_{n}\;;\ c_{n})=PGCD(c_{n}\;;\ 2)$. En déduire que $b_{n}$ et $c_{n}$ sont premiers entre eux.
 
2) On considère l'équation $$(1)\quad b_{3}x+c_{3}y=1$$ d'inconnues les entiers relatifs $x$ et $y$.
 
a) Justifier le fait que (1) possède au moins une solution.
 
b) Appliquer l'algorithme d'Euclide aux nombres $c_{3}$ et $b_{3}$ ; en déduire une solution particulière de (1).
 
c) Résoudre l'équation (1).
 
d) Déterminer les couples $(x\;;\ y)$ solutions de (1) tels que $0\leq x\leq 10000.$

Exercice 4

Les points $A_{0}=O\;;\ A_{1}\;;\ldots A_{20}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre $A$, à 21 côtés, de sens direct.
Les points $B_{0}=O\;;\ B_{1}\;;\ldots B_{14}$ sont les sommets d'un polygone régulier de centre $B$, à 15 côtés, de sens direct.
 
Soit $r_{A}$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{21}$ et $r_{B}$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{15}.$
 
On définit la suite $(M_{n})$ de points par :
- $\ M_{0}$ est l'un des points $A_{0}\;\  A_{1}\;,\ A_{2}\;,\ \ldots\;,\  A_{20}$ 
- pour tout entier naturel $n$, $M_{n+1}=r_{A}(M_{n})$.
 
On définit la suite $(P_{n})$ de points par :
- $\ M_{0}$ est l'un des points $B_{0}\;\  B_{1}\;,\ B_{2}\;,\ \ldots\;,\  B_{14}$ 
- pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=r_{B}(P_{n})$.
 
Le but de l'exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant : $$M_{n}=P_{n}=O$$
 
1) Dans cette question $M_{0}=P_{0}=O$.
 
a) Indiquer la position du point $M_{2000}$ et celle du point $P_{2000}.$
 
b) Déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que : $M_{n}=P_{n}=O.$
 
En déduire l'ensemble $S$.
 
2) Dans cette question $M_{0}=A_{19}$ et $P_{0}=B_{10}$.
On considère l'équation $(E)\ :\ 7x-5y=1$ avec $x\in\;\mathbb{Z}$ et $y\in\;\mathbb{Z}.$
 
a) Déterminer une solution particulière $(a\;;\ b)$ de $(E)$.
 
b) Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.
 
c) En déduire l'ensemble $S$ des entiers naturels $n$ vérifiant $M_{n}=P_{n}=O.$
 
Quel est le plus petit élément de $S$ ?

Exercice 5

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$
On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z'=z\mathrm{e}^{\frac{5\mathrm{i}\pi}{6}}$ et on définit une suite de points $(M_{n})$ de la manière suivante :
$M_{0}$ a pour affixe $z_{0}=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{2}}$ et pour tout entier naturel $n$, $M_{n+1}=f(M_{n})$. On appelle $z_{n}$ l'affixe de $M_{n}$.
 
1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$. Placer les points $M_{0}\;,\ M_{1}\;,\ M_{2}.$
 
2) Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité $z_{n}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{5n\pi}{6}\right)}$
(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence)
 
3) Soient deux entiers $n$ et $p$ tels que $n\geq p$, montrer que deux points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont confondus si, et seulement si, $(n-p)$ est multiple de 12.
 
4) a) On considère l'équation $(E)\ :\ 12x-5y=3$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.  Après avoir vérifier que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l'équation $(E).$
 
b) En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite $[ox).$
 

III. Nombres premiers

Exercice 1

1) Les nombres suivants sont-ils premiers ?
109 ; 209 ; 309 ; 409 ; 1009 ; 199 ; 299 ; 899.
 
2) Décomposer en produit de facteurs les nombres 828 et 5423.

Exercice 2

1) Montrer que pour tout entier relatif $n$ les entiers $14n+3$ et $5n+1$ sont premiers entre eux.
 
2) Soit l'équation $(E)\ :\ 87x+31y=2$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
 
a) Vérifier en utilisant par exemple la question 1), que 87 et 31 sont premiers entre eux.
 
En déduire un couple $(u\;;\ v)$ d'entiers relatifs tel que $87u+31v=1$ puis une solution $(x_{0}\;;\ y_{0})$ de $(E).$ 
 
b) Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$ dans $\mathbb{Z}^{2}$.
 
c) Application : Déterminer les points de la droite d'équation $87x-31y-2=0$ dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est comprise entre 0 et 100.
 
Indication : On remarque que le point $M$ de coordonnées $(x\;;\ y)$ appartient à la droite $D$ si, et seulement si, le couple $(x\;;\ -y)$ vérifie l'équation $(E).$
 

IV. PGCD et PPCM

Exercice 1

1) Déterminer $D(91)$, ensemble des diviseurs de 91.
 
2) Déterminer $D(315)$, ensemble des diviseurs de 315.
 
3) Déterminer l'intersection des ensembles $D(91)$ et $D(315)$.
 
En déduire le $PGCD$ de 91 et 315.
 
4) Résoudre dans $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ l'équation $x^{2}-y^{2}=91.$

Exercice 2

Déterminer le $PGCD$ et le $PPCM$ de :
 
1) 276 et 312.
 
2) $11\times 15$ et $13\times 5$.
 
3) $n$ et $n+1\quad (n\in\mathbb{N})$.

Exercice 3

Soit $x$ et $y$ des entiers naturels non nuls vérifiant $x<y$. Soit $S$ l'ensemble des couples $(x\;;\ y)$ tels que $PGCD(x\;;\ y)=y-x$.
 
1) Calculer $PGCD(363\;;\ 484)$. Le couple (363 ; 484) apparient-il à $S$ ?
 
2) Soit $n$ un entier naturel non nul; le couple $(n\;;\ n+1)$ apparient-il à $S$ ?
 
3) a) Montrer que $(x\;;\ y)$ apparient à $S$ si, et seulement si, il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $x=k(y-x)$ et $y=(k+1)(y-x).$
 
b) En déduire que pour tout couple $(x\;;\ y)$ de $S$ on a : $$PPCM(x\;;\ y)=k(k+1)(y-x)$$
 
4) a) Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
 
b) En déduire l'ensemble des couples $(x\;;\ y)$ de $S$ tels que $PPCM(x\;;\ y)=228.$

Exercice 4

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 5, on considère les nombres :$$a=n^{3}-n^{2}-12n\quad\text{ et }\quad b=2n^{2}-7n-4$$
 
1) Montrer, après factorisation, que $a$ et $b$ sont des entiers naturels divisibles par $n-4.$
 
2) On pose $\alpha=2n+1$ et $\beta=n+3$. On note $d$ le $PGCD$ de $\alpha$ et $\beta.$
 
a) Établir une relation entre $\alpha$ et $\beta$ indépendante de $n$.
 
b) Démontrer que $d$ est un diviseur de 5.
 
c) Démontrer que les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont multiples de 5 si, et seulement si, $n-2$ est multiple de 5.
 
3) Montrer que $2n+1$ et $n$ sont premiers entre eux.
 
4) a) Déterminer, suivant les valeurs de $n$ et en fonction de $n$, le $PGCD$ de $a$ et $b.$
 
b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers $n=11$ et $n=12.$
 

V. Système de numération

Exercice 1

1) écrire 6795 en base 6
 
2) écrire en base 5, 128
 
3) écrire dans le système décimal $\overline{3420}^{7}$,  $\overline{\alpha\alpha\alpha}^{12}$
 
4) déterminer $x$ et $y$ tels que $\overline{x2y}^{6}$ s'écrit $\overline{3x2}^{5}$
 

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