Exercices d'entrainement types du Bac : Fonctions Logarithmes, Exponentielles et Puissances

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
 
a) $\ln(2x-3)=-1$
 
b) $\ln(3x+5)-\ln(x-2)=1$
 
c) $(\ln x)^{2}-4\ln x+3\geq 0$
 
d) $\ln(2x-1)+\ln|x-1|=\ln(2x^{2}-5x+5)$
 
e) $1\leq\mathrm{e}^{x}\leq 5$
 
f) $\mathrm{e}^{2x}-3\sqrt{3}\mathrm{e}^{x}+6\geq 0$
 
g) $\ln(x+1)\geq 2x$
 
h) $\ln\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)\leq 0$
 
i) $\mathrm{e}^{x+2}<\sqrt{\mathrm{e}}$
 
j) $(\mathrm{e}^{x+1}-1)\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{x^{2}}\right)\leq 0$

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
 
a) $(2^{x}-3)(\sqrt{2}^{x}-4)\left(x^{\frac{4}{7}}-2\right)=0$
 
b) $4^{x}-3\times 2^{x}-10=0$
 
c) $\left(\dfrac{3}{7}\right)^{x}<9$
 
d) $x^{\sqrt{2}}<4$
 
e) $x^{\sqrt{2}}\leq\sqrt{2}^{x}$
 
f) $\ln x+\ln(10-x^{2})=\ln(11x^{2}+7)-\ln 2$
 
g) $\sqrt{5}^{x}<10^{1000}$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
 
a) $\mathrm{e}^{3x}+\mathrm{e}^{2x}-10\mathrm{e}^{x}+8=0$
 
b) $\mathrm{e}^{2x-1}-\sqrt{\mathrm{e}^{2x+2}}-2\mathrm{e}^{3}=0$
 
c) $2\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{-x}+2=0$
 
d) $-\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x+1}+\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}$
 
e) Déterminer suivant $m$ le nombre de solutions de l'équation $(m-1)\mathrm{e}^{x}+m\mathrm{e}^{-x}=2m$

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants :
 
$$(S_{1})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \ln x+\ln y &=& 2\\ 3\ln x+2\ln y &=& 4 \end{array}\right.\;,\qquad(S_{2})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{x}+2\mathrm{e}^{y} &=& 2\\ 3\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{y} &=& 1 \end{array}\right.\;,\qquad(S_{3})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{x-2}\times\mathrm{e}^{y-3} &=& 1\\ \ln(2x)+\ln y &=& 2\ln 2+\ln 3 \end{array}\right.$$
 
$$(S_{4})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \ln(xy) &=& 5\\ \\ 3\ln\left(\dfrac{x}{y}\right) &=& 3 \end{array}\right.\;,\qquad(S_{5})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \ln(xy) &=& 7\\ 3\ln x\cdot\ln y &=& 12 \end{array}\right.\;,\qquad(S_{6})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{7}}&=& \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{y}}\right)^{3} \\ \\ \ln x-2\ln y &=& \ln 4 \end{array}\right.$$
 
$$(S_{7})\ :\ \left\{\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{3y+1} &=& 0\\ -\ln(x+4)+\ln(y+1) &=& \ln 3 \end{array}\right.$$

Exercice 5

Déterminer les limites suivantes en $+\infty\ :$
 
$$\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{3}-\mathrm{e}^{x}+1\;,\qquad\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-1}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}-x+1}{2^{x}+x^{3}+1}$$
 
$$\lim_{x\rightarrow +\infty}1+x+x^{2}-\mathrm{e}^{3x}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt{7}^{x}}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{2x^{2}}}{x^{4}+1}$$

Exercice 6

Déterminer les limites suivantes en $-\infty\ :$
 
$$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^{4}-\mathrm{e}^{-x}+2\;,\qquad\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}-1}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{\ln\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{2x}}$$

Exercice 7

Déterminer les limites suivantes lorsque en 0 :
 
$$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(1+\sin x)}{x}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow 0}(x^{4}\ln^{2}x)\;,\qquad\lim_{x\rightarrow 0}\left(-3\ln(-x)+\dfrac{2}{x}\right)$$
 
$$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{x}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{-x}-1}{x\ln x}\;,\qquad\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{-x}}{2x}$$

Exercice 8

Déterminer les ensembles de définitions des fonctions suivantes :
 
a) $f(x)=\ln(1-\ln x)$
 
b) $g(x)=\ln|\ln x|$
 
c) $h(x)=\dfrac{\ln(5-2x)}{\ln x}$
 
d) $k(x)=\ln|\mathrm{e}^{x}-2|$
 
e) $m(x)=\ln(4-x^{2})$
 
f) $\varphi(x)=\sqrt{2-\mathrm{e}^{x}}$
 
g) $\psi(x)=\ln|x^{2}-5x+4|$
 
h) $\chi(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}-1}$
 
i) $\tau(x)=\sqrt{3-\ln x}$
 
j) $\iota(x)=3\ln x+\dfrac{2}{\ln x-1}$

Exercice 9

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leurs ensembles de définition respectifs et donner la fonction dérivée associée :
 
$$f(x)=\ln\left(\dfrac{2+x}{2-x}\right)\;,\qquad g(x)=\ln\left|\dfrac{x-2}{x-1}\right|\;,\qquad\varphi(x)=\sqrt{(\ln x)^{2}-1}$$
 
$$\psi(x)=(1-\ln x)^{3}\;,\qquad\kappa(x)=\dfrac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}}\;,\qquad\Phi(x)=\ln(2x\ln x)$$
 
$$\chi(x)=\mathrm{e}^{x}-\ln(\mathrm{e}^{x}+1)\;,\qquad\varsigma(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{\ln x}}\;,\qquad\pi(x)=x\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1\right)$$
 
$$\lambda(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{x+2}-3\mathrm{e}^{-4x}\;,\qquad\xi(x)=x\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\;,\qquad\theta(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}-1}$$

Exercice 10

1) Réaliser l'étude de la fonction $f\ :\ x\mapsto\ 3\mathrm{e}^{2x}-6\mathrm{e}^{x}-1.$
 
2) Construire la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
 
3) Justifier que $f$ s'annule exactement une fois sur $\mathbb{R}$ et donner un encadrement à $10^{-2}$ près du "zéro" de $f.$
 
4) En déduire le tableau de variation de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3\mathrm{e}^{2x}-12\mathrm{e}^{x}-2x+1.$

Exercice 11

Soit $k$ est un réel strictement positif.
On considère $f_{k}$, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_{k}(x)=\mathrm{e}^{-kx^{2}}\ $ et soit $\ g$, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{x^{2}+1}.$
 
1) Étudier la fonction $f_{k}\;,\ k$ étant fixé.
 
2) Déterminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{\rho}$ représentatives des fonctions $f_{k}$ et $f_{\rho}$ dans un repère orthogonal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ avec $0<k<\rho.$
 
3) Construire les courbes $\mathcal{C}_{1}\;,\ \mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{4}.$
 
4) Étudier la fonction $g$ et montrer que sa courbe représentative $\Gamma$ dans $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ est située dans la portion de plan délimitée par $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}.$

Exercice 12

On note $\alpha$ la solution de l'équation $\mathrm{e}^{x}=2\alpha\approx 0.69$
 
1) Calculer $f(\alpha)$ sachant que $f$ est la fonction définie par $f(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{3t}+\mathrm{e}^{t}-1}{\mathrm{e}^{-t}+2}.$
 
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^{x}+2=0.$
 
3)  Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\mathrm{e}^{x}+2\mathrm{e}^{-x}\geq 3.$

Exercice 13

1) On considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_{k}=\mathrm{e}^{x}-kx\quad\text{pour }k\in\;]0\;;\ \mathrm{e}[$$
 
a) Étudier le sens de variation de $f_{k}$.
 
b) Prouver que pour tout réel $x$, $\ \mathrm{e}^{x}-kx>0$.
 
2) Soit $g_{k}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$g_{k}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-kx}\quad\text{pour }k\in\;]0\;;\ \mathrm{e}[$$
 
a) Étudier $g_{k}\ $ (limites et variations).
 
b) Étudier la position relative des courbes représentatives de $g_{k}\ $ et $\ g_{k'}$ pour $k<k'.$
 
c) Construire les courbes représentatives de $g_{1}\ $ et $\ g_{2}$ dans un même repère. 

Exercice 14

$f(x)=3x+\ln\left(\dfrac{x-\mathrm{e}}{x+\mathrm{e}}\right)+1.$
 
1) Montrer que le point $A(0,\ 1)$ est centre de symétrie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f.$
 
2) Montrer que $\mathcal{C}$ possède trois droites asymptotes.

Exercice 15

1) Démontrer à l'aide d'une étude de fonction que pour tout $x\geq 0$ :
$$\ln(1+x)\geq x-\dfrac{x^{2}}{2}$$
 
2) Démontrer que pour tout $x\leq 0$ :
$$\ln(1+x)\geq x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}$$
 
3) La fonction $f$ est définie sur $[0,\ +\infty[$ par : $$f(0)=1\text{ et pour }x>0\;,\ f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$$
 
a) Profiter de l'encadrement de $\ln(1+x)$ pour démontrer que $f$ est dérivable en 0.
 
b) Terminer l'étude de $f$ et la représenter dans un repère orthogonal.

Exercice 16

La fonction $f_{a}$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f_{a}(x)=\mathrm{e}^{x^{2}-ax}$ où $a$ est un réel donné.
 
1) Déterminer les valeurs de $a$ correspondant aux cas suivants :
 
a) $f_{a}(3)=1$
b) $f_{a}(1)=2$
 
2) Soit $g$ la restriction de $f_{-1}$ à $[0\;;\ 3]$.
 
a) Montrer que $g$ est une bijection de $[0\;;\ 3]$ sur un intervalle que l'on précisera.
 
b) Donner l'expression explicite de $g^{-1}(x)$ pour $x$ donné.

Exercice 17

$\varphi$ et $g$ sont les fonctions définies sur $]1,\ +\infty[$ par : $$\varphi(x)=\dfrac{2x^{2}}{x^{2}-1}-\ln(x^{2}-1)\quad\text{et}\quad g(x)=\dfrac{\ln(x^{2}-1)}{x}$$
$f$ est la fonction définie sur $]0,\ +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\ln(\mathrm{e}^{2x}-1)}{\mathrm{e}^{x}}$$
 
1) a) Étudier la fonction $\varphi$.
 
b) Montrer que l'équation $\varphi(x)=0$ possède une unique solution, notée $\theta$, dans $]1,\ +\infty[.$ Vérifier que $3.19<\theta<3.2.$
 
2) a) Montrer que $g$ est dérivable sur $]1,\ +\infty[$ et que $g'(x)$ est du signe de $\varphi(x).$
 
b) Dresser le tableau de variation de $g$ sur $]1,\ +\infty[.$
 
c) Montrer que : $g(\theta)=\dfrac{2\theta}{\theta^{2}-1}$.
 
En déduire un encadrement de $g(\theta)$ d'amplitude $4\times 10^{-3}.$
 
3) a) Montrer que : $\forall\;x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\;,\ f(x)=g(\mathrm{e}^{x}).$
 
b) En déduire le tableau de variation de $f$.
 
c) Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal après avoir précisé la position relative de $\mathcal{C}$ et de son asymptote horizontale.

Exercice 18

1) Montrer que pour tout $x$, $\sqrt{x^{2}+1}-x=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.$
 
2) En déduire que la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ est impaire.
 
3) Calculer la dérivée de $\varphi$. En déduire le tableau de variation de $\varphi.$

Exercice 19

$(\mathcal{C})$ est la courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ de la fonction $g$ définie par : $$g(x)=x^{2}(2\ln x-1)+1\;\ \text{ si }x>0\;\ \text{ et }\;\ g(0)=1$$
 
1) Montrer que $g$ est dérivable en 0.
 
2) Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur son ensemble de définition $D_{g}.$
 
3) En déduire le signe de $g(x)$ sur $D_{g}.$
 
4) Terminer l'étude de $g$ et dresser le tableau de variation de $g$.
 
5) Déterminer la position relative de $(\mathcal{C})$ et de la droite $\Delta$ d'équation $y=1.$
 
6) Tracer $(\mathcal{C})$ et la droite $\Delta$.

Exercice 20

$(\mathcal{C})$ et $(\Gamma)$ sont les courbes d'équations respectives : $y=2^{x}\;\text{ et }\; y=\log_{2}(x)$ dans un repère orthogonal.
$M$ et $N$ sont les points d'abscisse $x$ situés respectivement sur $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma).$
On veut déterminer $x$ de telle façon que la distance $d(x)$ égale à $MN$ soit la plus petite possible.
 
1) Tracer $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma)$.
 
2) Montrer que $d(x)=2^{x}-\log_{2}(x)$.
 
3) Montrer que $d'(x)>0\ \Leftrightarrow\ x+\log_{2} x+2\log_{2}(\ln 2)>0.$
 
4) Étudier la fonction $\varphi\ :\ x\mapsto\ x+\log_{2} x+2\log_{2}(\ln 2)$ et conclure.
Mettre en évidence sur le graphique toute solution trouvée.

Exercice 21

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par : $f(x)=x^{\ln x}\;,\ n\geq 2$.
et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$
 
1) Étudier la fonction $f$.
 
2) Examiner la limite en $+\infty$ de $\dfrac{f(x)}{x}$ et de $\dfrac{f(x)}{x^{n}}.$
 
3) Représenter $\mathcal{C}$.
 
4) Montrer que la courbe $\Gamma_{n}$ d'équation $y=x^{n}$ et $\mathcal{C}$ se coupent en deux points : $A(1,\ 1)$ et $B_{n}$ dont l'abscisse $\alpha_{n}$ est le terme général d'une suite géométrique.
 
Donner la limite de la suite $(\alpha_{n})$.

Exercice 22

On se propose de résoudre dans $\mathbb{R}_{+}^{*}$ l'équation $E\ :\ 3^{x}+4^{x}=5^{x}.$
 
1) Montrer que : $E\ \Leftrightarrow\ f(x)=1\;\text{ où }\;f(x)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}.$
 
2) a) Étudier la fonction $f$.
 
b) En déduire que $E$ a une unique solution $\alpha$ dans  $\mathbb{R}_{+}^{*}.$
 
c) Donner la valeur de $\alpha$.

Exercice 23

Dans cet exercice, on se propose de comparer les réels $a^{x}$ et $x^{a}$ avec $x>0$ et $a\in\;\mathbb{N}\setminus\{0,\ 1\}.$
 
On note $I_{a}$ l'inéquation : $a^{x}>x^{a}$.
Posons $f(x)=x\ln a-a\ln x$ et $g(x)=\dfrac{x}{\ln x}-x\;\;\text{ sur }]1,\ +\infty[.$
 
1) Montrer que : $I_{a}\ \Leftrightarrow\ f(x)>0.$
 
2) a) Étudier la fonction $g$.
 
b) Comparer alors les nombres $a$ et $\dfrac{a}{\ln a}$ suivant les valeurs de $a.$
 
3) Dresser le tableau de variation de $f$ grâce à la question 2.
 
4) Conclure.

Exercice 24

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par :  $$\left\{\begin{array}{lcl} f(0) &=& 1\\ f(1) &=& 0\\ f(x) &=& \mathrm{e}^{\frac{1}{\ln x}}\quad\text{si }x>1 \end{array}\right.$$
$\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{i},\ \vec{j}).$
$\Delta$ est la droite d'équation $y=x$.
 
1) a) Montrer que $f$ est continue en 0 et continue à gauche en 1.
 
b) $f$ est-elle continue à droite en 1 ?
 
c) Étudier les variations de $f$ dans $]0,\ 1[$ et dans $]1,\ +\infty[.$
 
2) a) Démontrer que : $\forall\;x\in\;D_{f}\;,\ (f\circ f)(x)=x.$
 
b) En déduire que pour tout $x$ de $D_{f}$, 
$$M(x,\ y)\in\mathcal{C}\ \Leftrightarrow\ N(y,\ x)\in\mathcal{C}$$
 
c) En déduire une propriété remarquable de $\mathcal{C}.$
 
3) a) Montrer que $\mathcal{C}$ a une tangente verticale au point $A(0,\ 1).$ 
 
b) En déduire que $\mathcal{C}$ a une tangente horizontale au point $B(1,\ 0).$
 
c) Déterminer l'intersection $\mathcal{C}\cap\Delta$ et vérifier qu'en chacun des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Delta$, la tangente à $\mathcal{C}$ est perpendiculaire à $\Delta.$
 
d) Construire $\mathcal{C}$ en tenant compte de toutes les questions précédentes.

Exercice 25

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\ln\sqrt{x^{2}+1}\quad\text{et}\quad g(x)=\sqrt[7]{x^{2}}$$
 
1) Étudier $f$ et $g$ et construire les courbes représentatives $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ de $f$ et $g$ ainsi que celle de la fonction $\ln\;;\ \mathcal{C}_{\ln}$ dans un même repère orthogonal.
 
2) Calculer $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$$
 
3) Vérifier que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}_{\ln}$ sont asymptotes.
 
4) Pour approcher les points éventuels de $\mathcal{C}\cap\Gamma$, on se satisfait de chercher ceux de $\mathcal{C}_{\ln}\cap\Gamma.$
 
a) Étudier la fonction $h$ définies sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par $h(x)=x^{\frac{2}{7}}-\ln x.$
 
b) Déterminer des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des abscisses $\alpha$ et $\beta$ des deux points de $\mathcal{C}_{\ln}\cap\Gamma.$
 
c) Estimer $(f-g)(\alpha)$ et $(f-g)(\beta)$. Que peut-on en dire ?

Exercice 26

1) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}.$
 
Étudier les limites de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty\ $ et $\ -\infty.$ 
 
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'inéquation $2(x^{4}-1)+x(x^{2}-1)\geq 0.$
 
En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation suivante dans $\mathbb{R}$ :
$$2\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x}\geq 2\mathrm{e}^{-2x}+\mathrm{e}^{-x}$$
 
3) Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=2[f(x)]^{2}+f(x)-1.$
 
Démontrer que pour tout $x$ réel, $g(x)=f(2x)+f(x)$. Montrer que $g$ est paire, étudier ses variations et tracer sa représentation graphique $\Gamma$ dans un repère orthonormal.

Exercice 27

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}^{*}$ par :
$$f(x)=x2^{-x}\quad\text{ et }\quad g(x)=x^{-1}2^{x}$$
 
1) Étudier les limites de $f$ et de $g$ aux bornes de leur ensemble de définition (on pourra poser $u=x\ln 2$).
 
2) Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$.
 
3) Tracer $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, courbes représentatives de $f$ et $g$.
 

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