Exercices d'entrainement types du Bac : Nombres complexes

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique et déterminer leur argument
 
a) $z_{1}=\mathrm{i}\;,\quad z_{2}=-1\;,\quad z_{3}=\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;,\quad z_{4}=2-2\mathrm{i}.$
 
b) $z_{1}=\dfrac{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}\;,\quad z_{2}=1+\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta\;,\quad z_{3}=1-\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta.$

Exercice 2

1) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme algébrique
$z_{1}=(2+3\mathrm{i})(3-4\mathrm{i})\;,\quad z_{2}=(3+2\mathrm{i})^{3}\;,\quad z_{3}=\dfrac{2+\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}}-\mathrm{i}\;,\quad z_{4}=(1+\mathrm{i})^{7}.$
 
2) Calculer le conjugué du complexe $(2-3\mathrm{i})(3+2\mathrm{i})+(1-\mathrm{i})^{2}$ et l'écrire sous sa forme trigonométrique.

Exercice 3

1) Déterminer la forme algébrique du nombre $Z=\dfrac{(1+\mathrm{i})^{4}}{(\sqrt{3}-\mathrm{i})^{3}}.$
 
2) Calculer $(1+\mathrm{i})^{14}$.

Exercice 4

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique et sous forme trigonométrique
 
a) $z_{1}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\;,\quad z_{2}=\dfrac{2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}{\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\right)}\;,\quad z_{3}=\dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}.$
 
b) $z_{1}=\cos\dfrac{\pi}{6}-\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\;,\quad z_{2}=1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\;,\quad z_{3}=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^{6}.$

Exercice 5

1) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme trigonométrique
$z_{1}=1+\mathrm{i}\;,\quad z_{2}=-4\;,\quad z_{3}=-4-4\mathrm{i}\;,\quad z_{4}=(-1+\mathrm{i})^{6}.$
 
2) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme exponentielle
$2\mathrm{i}\;,\quad -5\;,\quad \cos\dfrac{\pi}{5}-\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{5}\;,\quad 2\sin\dfrac{\pi}{7}+2\mathrm{i}\cos\dfrac{\pi}{7}\;,\quad \dfrac{-2\sqrt{3}+2\mathrm{i}}{(1+\mathrm{i})^{4}}\quad\text{et}\quad\dfrac{\mathrm{i}(1+\mathrm{i})^{3}}{(\sqrt{3}-\mathrm{i})^{5}}.$
 
3) Soit $z_{1}=1+\mathrm{i}\quad\text{et}\quad z_{2}=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.
 
a) Calculer $z_{1}\times z_{2}$.
 
b) Donner les écritures exponentielles des complexes $z_{1}\;,\  z_{2}$ et $z_{1}z_{2}.$
 
c) En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}.$

Exercice 6

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
 
a) $z^{2}+(2-\sqrt{3}-\mathrm{i})z+(\sqrt{3}-1)(-1+\mathrm{i})=0$
 
b) $z^{2}-2(1+2\mathrm{i})z-4(-1-\mathrm{i})=0$
 
c) $z^{3}-3z^{2}+(3-\mathrm{i})z-2(1-\mathrm{i})=0$
 
d) $8z^{3}-12\mathrm{i}z^{2}-6z-12\mathrm{i}=0$
 
e) $2z+3\overline{z}+4-2\mathrm{i}=0$
 
f) $(1+2\mathrm{i})z+3-2\mathrm{i}=z(2-4\mathrm{i})$
 
g) $(z^{2}+1)(-2z^{2}+3z-4)(z^{2}-3z+2)=0$

Exercice 7

1) Soit l'équation $E\ :\ z^{3}+(2-2\mathrm{i})z^{2}+(5-4\mathrm{i})z -10\mathrm{i}=0$
 
a) Démontrer que $E$ possède une unique solution imaginaire pure.
 
b) Déterminer les complexes $\lambda$ et $\mu$ tels que pour tout complexe $z$,  $$z^{3}+(2-2\mathrm{i})z^{2}+(5-4\mathrm{i})z -10\mathrm{i}=(z-2\mathrm{i})(z^{2}+\lambda z+\mu)$$
 
c) Résoudre $E$ dans $\mathbb{C}$
 
2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\sigma\ :\ z^{3}=1+\mathrm{i}$
 
3) Montrer que l'équation $\Sigma\ :\ z^{2}-2\overline{z}+1=0$ a trois solutions dans $\mathbb{C}$ et donner la nature du triangle $ABC$ dont les affixes sont les solutions de $\Sigma$

Exercice 8

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ :\ z^{3}=1$ de deux manières : à l'aide des exponentielles puis, à l'aide des polynômes.
On note $\mathrm{j}$ la solution de $(E)$ dont la partie imaginaire est positive.
 
2) Vérifier que $\overline{\mathrm{j}}=\mathrm{j}^{2}$. Que valent $1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}\;,\ 1+\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{j}}^{2}$ et $\mathrm{j}^{3}\; ?$
 
Écrire sous forme exponentielle chacun des nombres suivants : $\mathrm{j}^{2018}\;,\ -\mathrm{j}\;,\ -\mathrm{j}^{2}$ et $\mathrm{j}^{3n+1}$ pour tout entier naturel $n.$
 
3) Soit $a$ un complexe non nul.
$A\;,\ B$ et $C$ sont les points d'affixes respectives $a\;,\ a\mathrm{j}$ et $a\mathrm{j}^{2}.$
Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
Faire une figure avec $a=2$ et avec $a=\mathrm{i}$

Exercice 9

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{e}_{1},\ \vec{e}_{2})$.
Déterminer dans chacun des cas suivants l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie :
 
a) $|\overline{z}+\mathrm{i}|=1$
 
b) $|z+2+3\mathrm{i}|=|\mathrm{i}-z|$
 
c) $|z-\mathrm{i}|=|z+2\overline{z}+1|$
 
d) $|z+2+3\mathrm{i}|=|\sqrt{3}+\mathrm{i}|$
 
e) $|(1+\mathrm{i})z-\mathrm{i}|=3$
 
f) $2\overline{z}+z^{2}+1$ est réel
 
g) Pour $z\in\mathbb{C}\setminus\{1-2\mathrm{i}\}\;,\ \dfrac{z+1-\mathrm{i}}{z-1+2\mathrm{i}}$ est imaginaire pur.
 
h) Pour $z\in\mathbb{C}\setminus\{1-2\mathrm{i}\}\;,\ \dfrac{z+1-\mathrm{i}}{z-1+2\mathrm{i}}$ est réel.

Exercice 10

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$ 
Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques des transformations $f$ du plan complexe dont l'écriture complexe est donnée par :
 
1) $z'=-3z+4-4\mathrm{i}$
 
2) $z'=z+3-2\mathrm{i}$
 
3) $z'=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}z+1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
 
4) $z'=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)z$

Exercice 11

$A(2+3\mathrm{i})\;,\ B(4-\mathrm{i})$ et $C(10+2\mathrm{i})$ sont trois points du plan $P$ rapporté au repère orthonormé direct $(O;\ \vec{e}_{1},\ \vec{e}_{2}).$
$f$ est la transformation de $P$ dans $P$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=\mathrm{j}z.$
$g$ est la transformation de $P$ dans $P$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=(1+\mathrm{j})z.$
 
1) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle (seulement) en $B.$
 
2) Reconnaitre chacune de ces transformations.
 
3) Construire les images $A'B'C'\;,\ (D')$ et $(\mathcal{C}')$ par $f$ du triangle $ABC$, de la droite $(D)$ d'équation $2(z+\overline{z})-3\mathrm{i}(z-\overline{z})+2=0$ et du cercle $(\mathcal{C})$ d'équation $|z-2-3\mathrm{i}|=\sqrt{13}.$

Exercice 12

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$,
on considère l'application $F$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par : $$z'=u^{2}z+u-1\qquad(1)\text{ où }u \text{ désigne un  nombre complexe }$$
 
1) Déterminer l'ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels $F$ est une translation ; caractériser $F$ pour chacune des valeurs trouvées.
 
2)  Déterminer l'ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels $F$ est une rotation d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$ (en radians); caractériser $F$ pour chacune des valeurs trouvées.
 
3)  Déterminer l'ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels $F$ est une homothétie de rapport -2 ; caractériser $F$ pour chacune des valeurs trouvées.

Exercice 13

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{e}_{1},\ \vec{e}_{2}).$
 
1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (1) : $\dfrac{z-2}{z-1}=z.$
On donnera le module et un argument de chaque solution.
 
2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (2) : $\dfrac{z-2}{z-1}=\mathrm{i}.$
On donnera la solution sous forme algébrique.
 
3) Soit $M\;,\ A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z$,  1 et 2.
On suppose que $M$ est distincts de $A$ et $B$.
 
a) Interpréter géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z-2}{z-1}.$
 
b) Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
 
4) a) Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution de l'équation  dans $\mathbb{C}$ : $\left(\dfrac{z-2}{z-1}\right)^{n}=\mathrm{i}$ où $n$ désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle $\dfrac{3}{2}.$
 
b) Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation (3) : $\left(\dfrac{z-2}{z-1}\right)^{2}=\mathrm{i}.$
On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Exercice 14

Pour tout nombre complexe $Z$, on pose $P(Z)=Z^{4}-1.$
 
a) Factoriser $P(Z)$.
 
b) En déduire les solutions dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de l'équation $P(Z)=0$, d'inconnue $Z.$
 
c) Déduire de la question précédente les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation d'inconnue $z\ :\ \left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^{4}=1.$
 
2) a) Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$
 
Placer les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives : $a=-2\;,\ b=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{5}\mathrm{i}$ et $c=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\mathrm{i}$
 
b) Démontrer que les points $O\;,\ A\;,\ B$ et $C$ sont situés sur un cercle, que l'on déterminera.
 
3) Placer le point $D$ d'affixe $d=-\dfrac{1}{2}$.
 
Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe $z'$ défini par : $$z'=\dfrac{a-c}{d-c}$$
 
En déduire le rapport $\dfrac{CA}{CD}$.
 
Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l'expression de $z'\ ?$ 

Exercice 15

On considère le nombre complexe $a=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}}.$
 
1) Vérifier que $a^{5}=1$.
 
2) Vérifier que pour tout nombre complexe $z$ : $$z^{5}-1=(z-1)(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4})$$
 
3) En déduire $1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}=0$.
 
4) Montrer $a^{3}=(\overline{a})^{2}$ et que $a^{4}=\overline{a}$.
 
5) En déduire que $(a+\overline{a})^{2}+(a+\overline{a})-1=0$.
 
6) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4x^{2}+2x-1$.
 
7) Calculer $a+\overline{a}$ et en déduire la valeur exacte de $\cos\left(2\dfrac{\pi}{5}\right).$ 

Exercice 16

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{e}_{1},\ \vec{e}_{2})$
 
Soient $Z$ et $z$ deux nombres complexes tels que $Z=\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}$ et $z=x+\mathrm{i}y$; affixe du point $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ 
 
1) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z^{2}$ soit
 
a) réel
 
b) imaginaire pur 
 
2) Soient $A\begin{pmatrix} 1\\ -1\end{pmatrix}$ et $B\begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix}$ deux points du plan
 
a) Exprimer $\Re eZ$ et $\Im mZ$ en fonction de $x$ et $y$ 
 
b) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit 
 
- réel
- imaginaire pur
 
3) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que
 
a)  $|Z|=1$ 
 
b)  $|Z|=2$
 
4) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|\overline{z}-1+\mathrm{i}|=|2\mathrm{i}z-4|$
 
5) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $(z-1+\mathrm{i})(\overline{z}-1-\mathrm{i})=16$

Exercice 17

On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$
1) a) Placer les points $A(4+3\mathrm{i})\;,\ B(-3+4\mathrm{i})\;,\ C(-5\mathrm{i})\;,\ E\left(4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{8}}\right)$ et $F$ l'image de $B$ par la réflexion d'axe $(O;\ \vec{u})$
 
b) Donner l'affixe de $F$ et l'écriture complexe de l'affixe du milieu $I$ du segment $[AF].$
 
2) Caractériser le triangle $OAB$.
 
3) Déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})$ et vérifier que $(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})+2k\pi\;,\quad k\in\mathbb{Z}.$
 
4) $r$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{3}$.
$A'=r(A)$ et $B'=r(B)$.
 
a) Calculer l'affixe de $A'$.
 
b) Quelle est la nature du triangle $OA'B'$ ?
 
5) a) Calculer l'affixe du barycentre du système $\{(A;\ 3),\ (B;\ 4),\ (C;\ 5)\}.$
 
b) Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : 
$$||3\overrightarrow{AM}+4\overrightarrow{BM}+5\overrightarrow{CM}||=||9\overrightarrow{AM}-4\overrightarrow{BM}-5\overrightarrow{CM}||$$

Exercice 18

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$
On considère les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives : $$z_{A}=3+\mathrm{i}\;;\ z_{B}=-2+3\mathrm{i}\;;\ z_{C}=1+4\mathrm{i}$$
 
1) Calculer $z_{A}+z_{B}-z_{C}$. En déduire le barycentre du système $\{(A;\ 1),\ (B;\ 1),\ (C;\ -1)\}.$
 
Montrer que $A$ est le barycentre de $\{(A;\ -1),\ (B;\ 1),\ (O;\ 1)\}.$
 
2) Montrer que l'ensemble $E$ des points $M$ du plan vérifiant $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}- 2\overrightarrow{MC}||$ est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Déterminer une équation de $E$.
 
3) Déterminer la nature géométrique de l'ensemble $F$ des points $M$ du plan tels que $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||=||-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MO}||.$
Donner une équation cartésienne de $F$.
 
4) Soit $H$ l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant (1) :
$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})\cdot\overrightarrow{CO}=10.$
 
Vérifier que $B$ appartient à l'ensemble $H$.
 
En déduire la nature géométrique puis une équation de $H$.

Exercice 19

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$
$A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ sont les points de $P$ d'affixes respectives : $1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;;\ 1-\mathrm{i}\sqrt{3}\;;\ -2+2\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $-2-2\mathrm{i}\sqrt{3}.$
 
1) Calculer la distance $AB$.
 
2) Écrire les affixes des points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ sous leur forme exponentielle.
 
3) Déduire du 2) la construction de chacun des points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$.
 
4) a) Démontrer que le quadrilatère convexe $ABDC$ admet pour axe de symétrie l'axe des abscisses  $(O;\ \vec{u}).$
 
b) Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
 
5) Démontrer que les points $O\;,\ A$ et $D$ sont alignés.
 
6) $\omega=\dfrac{z_{D}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}$.
 
Calculer $\omega$ et en déduire que les droites $(AD)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
 
7) a) Démontrer que l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ d'affixe $z$, tels que $|z+2|=2\sqrt{3}$ est un cercle dont on précisera l'affixe du centre $\Omega$.
 
b) Vérifier que les points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ appartiennent à $\mathcal{C}.$
 
c) Préciser la nature du triangle $\Omega BA$.

Exercice 20

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$
$A\;,\ B$ et $C$ sont les points de $P$ d'affixes respectives : $z_{A}=3-\mathrm{i}\sqrt{3}\;;\ z_{B}=3+\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $z_{C}=2+\sqrt{3}+3\mathrm{i}.$
 
1) Prouver que $OAB$ est un triangle équilatéral direct.
Soit $G$ le centre de gravité du triangle $OAB$. Déterminer l'affixe $z_{G}$ de $G$.
 
2) Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes et $R$ l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=az+b.$
 
a) Déterminer $a$ et $b$ pour que $R(O)=G$ et $R(A)=C.$
 
b) Prouver que $R$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.
 
c) Prouver que les droites $(OA)$ et $(GC)$ sont perpendiculaires.
 
Que peut-on dire des points $G\;,\ B$ et $C$ ?
 
3) Construire avec précision les points $A\;,\ B$ et $C$.

Exercice 21

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives  $a=1$ et $b=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.$ 
Le point $C$ est l'image de $B$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{12}.$
 
1) a) Calculer l'affixe $c$ du point $C$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
 
b) Soit $I$ le milieu du segment $[AC]$. Calculer l'affixe de $I$.
 
2) a) Prouver que les droites $(OI)$ et $(OB)$ sont confondues.
 
b) Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de $I$.
 
c) Déterminer $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ sachant que $\sqrt{4\sqrt{3}+8}=\sqrt{6}+\sqrt{2}.$

Exercice 22

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$, on considère les points $A$ d'affixe $z_{A}=1$ et $B$ d'affixe $z_{B}=2.$
Soit un réel $\theta\in\;]0;\ \pi[$.
On note $M$ le point d'affixe $z=1+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}.$
 
1) Montrer que le point $M$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre $A$ et de rayon 1.
 
2) Exprimer l'angle $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AM})$ en fonction de $\theta$.
 
En déduire l'ensemble $(E)$ des points $M$ quand $\theta$ décrit l'intervalle $]0;\ \pi[.$
 
3) On appelle $M'$ l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $-2\theta$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. Montrer que $z'=\overline{z}$, puis que $M'$ appartient à $(\mathcal{C}).$
 
4) Dans toute la suite, on choisit $\theta=\dfrac{\pi}{3}$.
On appelle $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $A'$ l'image de $A$ par $r.$
 
a) Définir l'image $(\mathcal{C}')$ du cercle $(\mathcal{C})$ par $r$.
 
Placer sur une figure $A\;,\ B\;,\ (\mathcal{C})\;,\ M\;,\ (\mathcal{C}')$ puis le point $M'$ image de $M$ par $r.$
 
b) Montrer que le triangle $AMO$ est équilatéral.
 
c) Montrer que $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ se coupent en $O$ et en $M'$.
 
d) Soit le point $P$ symétrique de $M$ par rapport à $A$.
Montrer que $M'$ est le milieu de $[A'P]$

Exercice 23

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$
Pour tout point $P$, on convient de noter $Z_{P}$ son affixe.
 
1) On considère dans l'ensemble des complexes l'équation $(E)$ : $$z^{3}+8=0$$
a) Déterminer les réels $a\;,\ b\;,\ c$ tels que $z^{3}+8=(z+2)(az^{2}+bz+c)$ pour tout complexe $z.$
 
b) Résoudre l'équation $(E)$ (on donnera les solutions sous forme algébrique).
 
c) Écrire ces solutions sous la forme $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, où $r$ est un réel positif.
 
2) On considère les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives : $-2\;,\ 1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ et  $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, le point $D$ milieu de $[OB]$ et la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$
 
a) Montrer que $R(A)=B\;,\ R(B)=C$ et $R(C)=A$.
 
En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral.
 
Placer $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ dans le plan.
 
b) On considère le point $L$ défini par $\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{OD}$.
 
Déterminer son affixe $Z_{L}$.
 
Déterminer un argument de $\dfrac{Z_{L}}{Z_{D}}$.
 
En déduire que le vecteur $\overrightarrow{OL}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{OD}$ et au vecteur $\overrightarrow{AL}$.
 
Montrer que $L$ est sur le cercle de diamètre $[AO]$.
 
Placer $L$ sur la figure. 
 

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