Exercices d'entrainement types du Bac : Nombres complexes

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique et déterminer leur argument
 
a) $z_{1}=\mathrm{i}\;,\quad z_{2}=-1\;,\quad z_{3}=\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;,\quad z_{4}=2-2\mathrm{i}.$
 
b) $z_{1}=\dfrac{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}\;,\quad z_{2}=1+\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta\;,\quad z_{3}=1-\cos\theta-\mathrm{i}\sin\theta.$

Exercice 2

1) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme algébrique
$$z_{1}=(2+3\mathrm{i})(3-4\mathrm{i})\;,\quad z_{2}=(3+2\mathrm{i})^{3}\;,\quad z_{3}=\dfrac{2+\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}}-\mathrm{i}\;,\quad z_{4}=(1+\mathrm{i})^{7}$$
2) Calculer le conjugué du complexe $(2-3\mathrm{i})(3+2\mathrm{i})+(1-\mathrm{i})^{2}$ et l'écrire sous sa forme trigonométrique.

Exercice 3

1) Déterminer la forme algébrique du nombre $Z=\dfrac{(1+\mathrm{i})^{4}}{(\sqrt{3}-\mathrm{i})^{3}}.$
 
2) Calculer $(1+\mathrm{i})^{14}$.

Exercice 4

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique et sous forme trigonométrique
 
a) $z_{1}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\;,\quad z_{2}=\dfrac{2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}{\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\right)}\;,\quad z_{3}=\dfrac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}.$
 
b) $z_{1}=\cos\dfrac{\pi}{6}-\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\;,\quad z_{2}=1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\;,\quad z_{3}=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^{6}.$

Exercice 5

1) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme trigonométrique
$$z_{1}=1+\mathrm{i}\;,\quad z_{2}=-4\;,\quad z_{3}=-4-4\mathrm{i}\;,\quad z_{4}=(-1+\mathrm{i})^{6}$$
2) Donner les nombres complexes suivants sous leur forme exponentielle
$$2\mathrm{i}\;,\quad -5\;,\quad \cos\dfrac{\pi}{5}-\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{5}\;,\quad 2\sin\dfrac{\pi}{7}+2\mathrm{i}\cos\dfrac{\pi}{7}\;,\quad \dfrac{-2\sqrt{3}+2\mathrm{i}}{(1+\mathrm{i})^{4}}\quad\text{et}\quad\dfrac{\mathrm{i}(1+\mathrm{i})^{3}}{(\sqrt{3}-\mathrm{i})^{5}}$$
3) Soit $z_{1}=1+\mathrm{i}\quad\text{et}\quad z_{2}=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$.
 
a) Calculer $z_{1}\times z_{2}$.
 
b) Donner les écritures exponentielles des complexes $z_{1}\;,\  z_{2}$ et $z_{1}z_{2}.$
 
c) En déduire les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}.$

Exercice 6

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
 
a) $z^{2}+(2-\sqrt{3}-\mathrm{i})z+(\sqrt{3}-1)(-1+\mathrm{i})=0$
 
b) $z^{2}-2(1+2\mathrm{i})z-4(-1-\mathrm{i})=0$
 
c) $z^{3}-3z^{2}+(3-\mathrm{i})z-2(1-\mathrm{i})=0$
 
d) $8z^{3}-12\mathrm{i}z^{2}-6z-12\mathrm{i}=0$
 
e) $2z+3\overline{z}+4-2\mathrm{i}=0$
 
f) $(1+2\mathrm{i})z+3-2\mathrm{i}=z(2-4\mathrm{i})$
 
g) $(z^{2}+1)(-2z^{2}+3z-4)(z^{2}-3z+2)=0$

Exercice 7

1) Soit l'équation $E\ :\ z^{3}+(2-2\mathrm{i})z^{2}+(5-4\mathrm{i})z -10\mathrm{i}=0$
 
a) Démontrer que $E$ possède une unique solution imaginaire pure.
 
b) Déterminer les complexes $\lambda$ et $\mu$ tels que pour tout complexe $z$,  $$z^{3}+(2-2\mathrm{i})z^{2}+(5-4\mathrm{i})z -10\mathrm{i}=(z-2\mathrm{i})(z^{2}+\lambda z+\mu)$$
c) Résoudre $E$ dans $\mathbb{C}$
 
2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\sigma\ :\ z^{3}=1+\mathrm{i}$
 
3) Montrer que l'équation $\Sigma\ :\ z^{2}-2\overline{z}+1=0$ a trois solutions dans $\mathbb{C}$ et donner la nature du triangle $ABC$ dont les affixes sont les solutions de $\Sigma$

Exercice 8

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ :\ z^{3}=1$ de deux manières : à l'aide des exponentielles puis, à l'aide des polynômes.

On note $\mathrm{j}$ la solution de $(E)$ dont la partie imaginaire est positive.
 
2) Vérifier que $\overline{\mathrm{j}}=\mathrm{j}^{2}$. Que valent $1+\mathrm{j}+\mathrm{j}^{2}\;,\ 1+\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{j}}^{2}$ et $\mathrm{j}^{3}\; ?$
 
Écrire sous forme exponentielle chacun des nombres suivants : $\mathrm{j}^{2018}\;,\ -\mathrm{j}\;,\ -\mathrm{j}^{2}$ et $\mathrm{j}^{3n+1}$ pour tout entier naturel $n.$
 
3) Soit $a$ un complexe non nul.

$A\;,\ B$ et $C$ sont les points d'affixes respectives $a\;,\ a\mathrm{j}$ et $a\mathrm{j}^{2}.$

Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

Faire une figure avec $a=2$ et avec $a=\mathrm{i}$

Exercice 9

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{e}_{1},\ \vec{e}_{2})$.

Déterminer dans chacun des cas suivants l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie :
 
a) $|\overline{z}+\mathrm{i}|=1$
 
b) $|z+2+3\mathrm{i}|=|\mathrm{i}-z|$
 
c) $|z-\mathrm{i}|=|z+2\overline{z}+1|$
 
d) $|z+2+3\mathrm{i}|=|\sqrt{3}+\mathrm{i}|$
 
e) $|(1+\mathrm{i})z-\mathrm{i}|=3$
 
f) $2\overline{z}+z^{2}+1$ est réel
 
g) Pour $z\in\mathbb{C}\setminus\{1-2\mathrm{i}\}\;,\ \dfrac{z+1-\mathrm{i}}{z-1+2\mathrm{i}}$ est imaginaire pur.
 
h) Pour $z\in\mathbb{C}\setminus\{1-2\mathrm{i}\}\;,\ \dfrac{z+1-\mathrm{i}}{z-1+2\mathrm{i}}$ est réel.

Exercice 10

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$ 

Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques des transformations $f$ du plan complexe dont l'écriture complexe est donnée par :
 
1) $z'=-3z+4-4\mathrm{i}$
 
2) $z'=z+3-2\mathrm{i}$
 
3) $z'=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}z+1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
 
4) $z'=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}\right)z$

Exercice 11

$A(2+3\mathrm{i})\;,\ B(4-\mathrm{i})$ et $C(10+2\mathrm{i})$ sont trois points du plan $P$ rapporté au repère orthonormé direct $(O;\ \vec{e}_{1},\ \vec{e}_{2}).$

$f$ est la transformation de $P$ dans $P$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=\mathrm{j}z.$

$g$ est la transformation de $P$ dans $P$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=(1+\mathrm{j})z.$
 
1) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle (seulement) en $B.$
 
2) Reconnaitre chacune de ces transformations.
 
3) Construire les images $A'B'C'\;,\ (D')$ et $(\mathcal{C}')$ par $f$ du triangle $ABC$, de la droite $(D)$ d'équation $2(z+\overline{z})-3\mathrm{i}(z-\overline{z})+2=0$ et du cercle $(\mathcal{C})$ d'équation $|z-2-3\mathrm{i}|=\sqrt{13}.$

Exercice 12

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$, on considère l'application $F$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par : $$z'=u^{2}z+u-1\qquad(1)\text{ où }u \text{ désigne un  nombre complexe }$$
1) Déterminer l'ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels $F$ est une translation ; caractériser $F$ pour chacune des valeurs trouvées.
 
2)  Déterminer l'ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels $F$ est une rotation d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$ (en radians); caractériser $F$ pour chacune des valeurs trouvées.
 
3)  Déterminer l'ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels $F$ est une homothétie de rapport -2 ; caractériser $F$ pour chacune des valeurs trouvées.

Exercice 13

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{e}_{1},\ \vec{e}_{2}).$
 
1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (1) : $\dfrac{z-2}{z-1}=z.$

On donnera le module et un argument de chaque solution.
 
2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (2) : $\dfrac{z-2}{z-1}=\mathrm{i}.$

On donnera la solution sous forme algébrique.
 
3) Soit $M\;,\ A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z$,  1 et 2.

On suppose que $M$ est distincts de $A$ et $B$.
 
a) Interpréter géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z-2}{z-1}.$
 
b) Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
 
4) a) Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution de l'équation  dans $\mathbb{C}$ : $\left(\dfrac{z-2}{z-1}\right)^{n}=\mathrm{i}$ où $n$ désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle $\dfrac{3}{2}.$
 
b) Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation (3) : $\left(\dfrac{z-2}{z-1}\right)^{2}=\mathrm{i}.$

On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Exercice 14

Pour tout nombre complexe $Z$, on pose $P(Z)=Z^{4}-1.$
 
a) Factoriser $P(Z)$.
 
b) En déduire les solutions dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de l'équation $P(Z)=0$, d'inconnue $Z.$
 
c) Déduire de la question précédente les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation d'inconnue $z\ :\ \left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^{4}=1.$
 
2) a) Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$
 
Placer les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives : $a=-2\;,\ b=-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{5}\mathrm{i}$ et $c=-\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\mathrm{i}$
 
b) Démontrer que les points $O\;,\ A\;,\ B$ et $C$ sont situés sur un cercle, que l'on déterminera.
 
3) Placer le point $D$ d'affixe $d=-\dfrac{1}{2}$.
 
Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe $z'$ défini par : $$z'=\dfrac{a-c}{d-c}$$
En déduire le rapport $\dfrac{CA}{CD}$.
 
Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l'expression de $z'\ ?$ 

Exercice 15

On considère le nombre complexe $a=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}}.$
 
1) Vérifier que $a^{5}=1$.
 
2) Vérifier que pour tout nombre complexe $z$ : $$z^{5}-1=(z-1)(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4})$$
 
3) En déduire $1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}=0$.
 
4) Montrer $a^{3}=(\overline{a})^{2}$ et que $a^{4}=\overline{a}$.
 
5) En déduire que $(a+\overline{a})^{2}+(a+\overline{a})-1=0$.
 
6) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4x^{2}+2x-1$.
 
7) Calculer $a+\overline{a}$ et en déduire la valeur exacte de $\cos\left(2\dfrac{\pi}{5}\right).$ 

Exercice 16

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{e}_{1},\ \vec{e}_{2})$
 
Soient $Z$ et $z$ deux nombres complexes tels que $Z=\dfrac{z-1+\mathrm{i}}{z-2\mathrm{i}}$ et $z=x+\mathrm{i}y$; affixe du point $M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ 
 
1) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z^{2}$ soit
 
a) réel
 
b) imaginaire pur 
 
2) Soient $A\begin{pmatrix} 1\\ -1\end{pmatrix}$ et $B\begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix}$ deux points du plan
 
a) Exprimer $\Re eZ$ et $\Im mZ$ en fonction de $x$ et $y$ 
 
b) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit 
 
$-\ $  réel

$-\ $ imaginaire pur
 
3) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que
 
a)  $|Z|=1$ 
 
b)  $|Z|=2$
 
4) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|\overline{z}-1+\mathrm{i}|=|2\mathrm{i}z-4|$
 
5) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $(z-1+\mathrm{i})(\overline{z}-1-\mathrm{i})=16$

Exercice 17

On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$

1) a) Placer les points $A(4+3\mathrm{i})\;,\ B(-3+4\mathrm{i})\;,\ C(-5\mathrm{i})\;,\ E\left(4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{8}}\right)$ et $F$ l'image de $B$ par la réflexion d'axe $(O;\ \vec{u})$
 
b) Donner l'affixe de $F$ et l'écriture complexe de l'affixe du milieu $I$ du segment $[AF].$
 
2) Caractériser le triangle $OAB$.
 
3) Déterminer une mesure de l'angle $(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})$ et vérifier que $$(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})+2k\pi\;,\quad k\in\mathbb{Z}$$
4) $r$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{3}$.

$A'=r(A)\ $ et $\ B'=r(B)$.
 
a) Calculer l'affixe de $A'$.
 
b) Quelle est la nature du triangle $OA'B'$ ?
 
5) a) Calculer l'affixe du barycentre du système $\{(A;\ 3),\ (B;\ 4),\ (C;\ 5)\}.$
 
b) Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : 
$$||3\overrightarrow{AM}+4\overrightarrow{BM}+5\overrightarrow{CM}||=||9\overrightarrow{AM}-4\overrightarrow{BM}-5\overrightarrow{CM}||$$

Exercice 18

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$

On considère les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives : $$z_{A}=3+\mathrm{i}\;;\ z_{B}=-2+3\mathrm{i}\;;\ z_{C}=1+4\mathrm{i}$$
1) Calculer $z_{A}+z_{B}-z_{C}$. En déduire le barycentre du système $\{(A;\ 1),\ (B;\ 1),\ (C;\ -1)\}.$
 
Montrer que $A$ est le barycentre de $\{(A;\ -1),\ (B;\ 1),\ (O;\ 1)\}.$
 
2) Montrer que l'ensemble $E$ des points $M$ du plan vérifiant $$||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||=||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}- 2\overrightarrow{MC}||$$
est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Déterminer une équation de $E$.
 
3) Déterminer la nature géométrique de l'ensemble $F$ des points $M$ du plan tels que $$||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}||=||-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MO}||$$
Donner une équation cartésienne de $F$.
 
4) Soit $H$ l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant (1) :
$$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})\cdot\overrightarrow{CO}=10$$
Vérifier que $B$ appartient à l'ensemble $H$.
 
En déduire la nature géométrique puis une équation de $H$.

Exercice 19

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$

$A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ sont les points de $P$ d'affixes respectives : $$1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;;\ 1-\mathrm{i}\sqrt{3}\;;\ -2+2\mathrm{i}\sqrt{3}\ \text{ et }\ -2-2\mathrm{i}\sqrt{3}$$
1) Calculer la distance $AB$.
 
2) Écrire les affixes des points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ sous leur forme exponentielle.
 
3) Déduire du 2) la construction de chacun des points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$.
 
4) a) Démontrer que le quadrilatère convexe $ABDC$ admet pour axe de symétrie l'axe des abscisses  $(O;\ \vec{u}).$
 
b) Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
 
5) Démontrer que les points $O\;,\ A$ et $D$ sont alignés.
 
6) $\omega=\dfrac{z_{D}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}$.
 
Calculer $\omega$ et en déduire que les droites $(AD)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
 
7) a) Démontrer que l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ d'affixe $z$, tels que $|z+2|=2\sqrt{3}$ est un cercle dont on précisera l'affixe du centre $\Omega$.
 
b) Vérifier que les points $A\;,\ B\;,\ C$ et $D$ appartiennent à $\mathcal{C}.$
 
c) Préciser la nature du triangle $\Omega BA$.

Exercice 20

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$

$A\;,\ B$ et $C$ sont les points de $P$ d'affixes respectives : $$z_{A}=3-\mathrm{i}\sqrt{3}\;;\ z_{B}=3+\mathrm{i}\sqrt{3}\ \text{ et }\ z_{C}=2+\sqrt{3}+3\mathrm{i}$$
1) Prouver que $OAB$ est un triangle équilatéral direct.

Soit $G$ le centre de gravité du triangle $OAB$. Déterminer l'affixe $z_{G}$ de $G$.
 
2) Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes et $R$ l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'=az+b.$
 
a) Déterminer $a$ et $b$ pour que $R(O)=G$ et $R(A)=C.$
 
b) Prouver que $R$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.
 
c) Prouver que les droites $(OA)$ et $(GC)$ sont perpendiculaires.
 
Que peut-on dire des points $G\;,\ B$ et $C$ ?
 
3) Construire avec précision les points $A\;,\ B$ et $C$.

Exercice 21

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives  $a=1$ et $b=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.$ 

Le point $C$ est l'image de $B$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{12}.$
 
1) a) Calculer l'affixe $c$ du point $C$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
 
b) Soit $I$ le milieu du segment $[AC]$. Calculer l'affixe de $I$.
 
2) a) Prouver que les droites $(OI)$ et $(OB)$ sont confondues.
 
b) Écrire sous forme trigonométrique l'affixe de $I$.
 
c) Déterminer $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ sachant que $\sqrt{4\sqrt{3}+8}=\sqrt{6}+\sqrt{2}.$

Exercice 22

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$, on considère les points $A$ d'affixe $z_{A}=1$ et $B$ d'affixe $z_{B}=2.$

Soit un réel $\theta\in\;]0;\ \pi[$.

On note $M$ le point d'affixe $z=1+\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta}.$
 
1) Montrer que le point $M$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre $A$ et de rayon 1.
 
2) Exprimer l'angle $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AM})$ en fonction de $\theta$.
 
En déduire l'ensemble $(E)$ des points $M$ quand $\theta$ décrit l'intervalle $]0;\ \pi[.$
 
3) On appelle $M'$ l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $-2\theta$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. Montrer que $z'=\overline{z}$, puis que $M'$ appartient à $(\mathcal{C}).$
 
4) Dans toute la suite, on choisit $\theta=\dfrac{\pi}{3}.$

On appelle $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $A'$ l'image de $A$ par $r.$
 
a) Définir l'image $(\mathcal{C}')$ du cercle $(\mathcal{C})$ par $r.$
 
Placer sur une figure $A\;,\ B\;,\ (\mathcal{C})\;,\ M\;,\ (\mathcal{C}')$ puis le point $M'$ image de $M$ par $r.$
 
b) Montrer que le triangle $AMO$ est équilatéral.
 
c) Montrer que $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ se coupent en $O$ et en $M'$.
 
d) Soit le point $P$ symétrique de $M$ par rapport à $A$.

Montrer que $M'$ est le milieu de $[A'P]$

Exercice 23

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v}).$

Pour tout point $P$, on convient de noter $Z_{P}$ son affixe.
 
1) On considère dans l'ensemble des complexes l'équation $(E)$ : $$z^{3}+8=0$$

a) Déterminer les réels $a\;,\ b\;,\ c$ tels que $z^{3}+8=(z+2)(az^{2}+bz+c)$ pour tout complexe $z.$
 
b) Résoudre l'équation $(E)$ (on donnera les solutions sous forme algébrique).
 
c) Écrire ces solutions sous la forme $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, où $r$ est un réel positif.
 
2) On considère les points $A\;,\ B$ et $C$ d'affixes respectives : $-2\;,\ 1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ et  $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, le point $D$ milieu de $[OB]$ et la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$
 
a) Montrer que $R(A)=B\;,\ R(B)=C$ et $R(C)=A$.
 
En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral.
 
Placer $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D$ dans le plan.
 
b) On considère le point $L$ défini par $\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{OD}$.
 
Déterminer son affixe $Z_{L}$.
 
Déterminer un argument de $\dfrac{Z_{L}}{Z_{D}}$.
 
En déduire que le vecteur $\overrightarrow{OL}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{OD}$ et au vecteur $\overrightarrow{AL}$.
 
Montrer que $L$ est sur le cercle de diamètre $[AO]$.
 
Placer $L$ sur la figure. 

 

Commentaires

je trouve les exo interessant

C'est intéressant vraiment

pk y'a pas de correction

C'est très bonne cite d'étude

cest ou les corrections svp

J'ai beaucoup souffert je n'arrive pas à comprendre les cours en classe raison pour la quelle j'ai décidé de vous rejoindre pour un avenir meilleur car les les leçons et exercices sont très bien détaillés ça me permet de comprendre plus vite.

J'ai beaucoup souffert je n'arrive pas à comprendre les cours en classe raison pour la quelle j'ai décidé de vous rejoindre pour un avenir meilleur car les les leçons et exercices sont très bien détaillés ça me permet de comprendre plus vite.

Bon courage, c'est très riche.

correction svp

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