Exercices d'entrainement types du Bac : Suites numériques

Classe: 
Terminale

Calculs de sommes

Exercice 1

1) Montrer les relations suivantes : 

a) $1+2+3+\ldots\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

b) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots\ldots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

c) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots\ldots+n^{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

2) a) Calculer $S_{n}=\sum_{p=0}^{n}(p+1)\times\sum_{p=0}^{n}(p-1)\text{ et }\Sigma_{n}=\sum_{p=0}^{n}(p^{2}-1)\;,\ n\in\mathbb{N}$

b) La proposition "pour tout entier naturel $n$, $S_{n}=\Sigma_{n}\;;\quad\forall n\in\mathbb{N}$" est-elle vraie ?

3) Soient $a_{n}=3^{n}\;,\ b_{n}=-5n+10\ \text{ et }c_{n}=3^{n}-5n+10$ trois suites réelles

Calculer $A_{n}=\sum_{p=0}^{n}a_{p}\;,\ B_{n}=\sum_{p=0}^{n}b_{p}\text{ et }C_{n}=\sum_{p=0}^{n}c_{p}$

Exercice 2

Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $\forall n\in\mathbb{N}^{*}\;;\ u_{n}=\dfrac{1}{n^{2}+n}$

1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $\forall\; n\in\mathbb{N}^{*}\;;\ u_{n}=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}$

2) En déduire la somme $S_{n}=\sum_{p=1}^{n}u_{p}$ des $n$ premiers termes de la suite $(u_{n})$

Sens de variation et convergence d'une suite

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, étudier le sens de variation puis la convergence de la suite $(u_{n})$ définie par :

a) $\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=-2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\;;\qquad\text{b) }\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=(-1)^{n}\ln n$

c) $\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=-\dfrac{4n+1}{2n-5}\;;\qquad\text{d) }\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=n-\ln(n^{2}+1)$

e) $\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}-1}{\mathrm{e}^{n}+1}\;;\qquad\text{f) } \forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=\dfrac{\mathrm{e}^{n}-n}{3^{n}}$

g) $\left\{\begin{array}{lcl}
u_{0}&=& 2\\
\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n+1} &=& \mathrm{e}^{u_{n}-2}
\end{array}\right.\;;\qquad \text{h) } \left\{\begin{array}{lcl}
u_{0}&=& 2\\
\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n+1} &=& \ln(1+u_{n})
\end{array}\right.$

$$\text{i) }\ \forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=\int_{0}^{n}\dfrac{-x^{2}}{\mathrm{e}^{x}+1}\mathrm{d}x\;;\qquad \text{j) }\  \forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=\int_{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\mathrm{d}x$$

Exercice 2

Soit $(u_{n})$ une suite réelle définie par : $$u_{n}=\int_{1}^{2}x(\ln x)^{n}
\mathrm{d}x$$
Montrer que $(u_{n})$ est décroissante

Exercice 3

Soit $(u_{n})$ une suite réelle définie par : $$\left\{\begin{array}{lcl}
u_{0}&=& \dfrac{3}{2}\\
\\
\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n+1} &=& \sqrt{u_{n}+2}
\end{array}\right.$$

1) Montrer que $\forall n\;,\quad 0\leq u_{n}\leq 2$

2) Sachant que $0\leq u_{n}\leq 2$ et que $|u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_{n}-\alpha|\;,\ $ montrer que $$|u_{n}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2^{n-1}}$$

3) En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}$

Exercice 4

Soit $x_{n}$ une suite et $g_{n}$ la fonction définie sur $[1,\ 2]$, pour tout $n\geq 3$, par : $g_{n}(x)=x-n\ln x$

1) Étudier la fonction $g_{n}$ et montrer qu'il existe un unique réel $\alpha\in\;]1,\ 2[$ vérifiant $g_{n}(\alpha)=0$

2)a) Montrer que pour tout $n\geq 3\;;\ g_{n+1}(x_{n})=g_{n}(x_{n})-\ln(x_{n})$

b) Comparer $g_{n+1}(x_{n+1})$ et $g_{n+1}(x_{n})$. En déduire que la suite $(x_{n})$ est strictement décroissante.

c) Démontrer enfin que $(x_{n})$ converge et que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}x_{n}=1$$

Exercice 5

1) Démontrer que pour tout réel $x>0\;;\ x-\dfrac{1}{2}x^{2}\leq\ln(1+x)\leq x$

2) En déduire un encadrement de la somme $S_{n}$ égale à $\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\dfrac{k}{n^{2}}\right)$

3) Calculer la limite de $(S_{n})$ pour en déduire celle de la suite de terme général $$b_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\dfrac{2}{n^{2}}\right)\left(1+\dfrac{3}{n^{2}}\right)\ldots\left(1+\dfrac{n-1}{n^{2}}\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$$

Exercice 6

Soit $(u_{n})$ une suite définie par : $\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

1) Démontrer que $\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ u_{n}<\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$

2) En déduire que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=+\infty$$

Exercice 7

Soit $(u_{n})$ la suite réelle définie par : $$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;;\ u_{n}=\dfrac{n}{n^{2}}+\dfrac{n}{n^{2}+1}+\dfrac{n}{n^{2}+2}+\ldots+\dfrac{n}{n^{2}+2n}+\dfrac{n}{n^{2}+2n+1}$$

1) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$

2) Donner une autre écriture de $u_{n}$, à l'aide du symbole $\Sigma$

3) Démontrer que : $$\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;;\ \dfrac{2n}{n+1}\leq u_{n}\leq\dfrac{2(n+1)}{n}$$

4) démontrer que la suite $(u_{n})$ converge et donner sa limite.

Exercice 8

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $]0;\  +\infty$ par : $$f(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{x}\ \text{ et }\ g(x)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{x+1}$$
1) Étudier le sens de variation des fonctions $f$ et $g$ ainsi que leurs limites en $+\infty$. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif : $$\dfrac{1}{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\dfrac{1}{x}\quad (1)$$
2 On considère la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{*}$ par son terme général : $$v_{n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\ldots+\dfrac{1}{2n}$$
En utilisant la relation (1), montrer que $$\ln\dfrac{2n+1}{n+1}<v_{n}<\ln 2$$
En déduire la limite de la suite $(v_{n})$

Suites arithmétiques et géométriques

Exercice 1

Soit la suite $(u_{n})$ définie par : $\ln(2^{n}u_{n})=n$; où $n$ est un entier naturel.

1) Déterminer le terme général de la suite $(u_{n})$.

2) Montrer que $(u_{n})$ est géométrique et calculer la somme $s_{n}$ de ses $(n+1)$ premiers termes.

3) Calculer les limites des deux suites $(u_{n})$ et $(s_{n})$.

4) Calculer le plus petit entier $n_{0}$ tel que : $\forall\;n\in\mathbb{N},\ n\geq n_{0}\;,\ u_{n}\geq 10^{3}$

Exercice 2

Soit la suite $(u_{n})$ définie par :
$\left\{\begin{array}{lcl}
u_{0}&=& 9\\
\\
\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n+1} &=& \dfrac{1}{3}u_{n}+2
\end{array}\right.$

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par : $f(x)=\dfrac{1}{3}x+2$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$.

1) Construire sur l'axe $(O;\ \vec{i})$ les quatre premiers termes de la suite $(u_{n})$. Quelle conjecture peut-on réaliser ?

2) Démontrer que la suite $(u_{n})$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

3) a) Démontrer que $\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ 3<u_{n}\leq 9$.

b) En déduire le sens de variation de la suite $(u_{n})$.

4) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}\;;\ v_{n}=u_{n}-3$.

a) Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on déterminera le terme général en fonction de $n$.

b) En déduire le terme général de $(u_{n})$ en fonction de $n$, puis calculer la limite de la suite $(u_{n})$.

c) Calculer $v_{0}+v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{10}$.

d) Calculer $s_{n}=\sum_{k=0}^{n}u_{k}$. Déterminer $\lim s_{n}$.

Exercice 3

On considère la suite $(u_{n})$ définie par :
$\left\{\begin{array}{lcl}
u_{0}&=& 1\\
\\
\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n+1} &=& \dfrac{1}{3}u_{n}+n-1
\end{array}\right.$.
Soit $(v_{n})$ la suite numérique définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n}=4u_{n}-6n+15$.

1) Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.

2) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{19}{4}\times\dfrac{1}{3^{n}}+\dfrac{6n-15}{4}$.

3) Montrer que la suite $(u_{n})$ peut s'écrire sous la forme $(u_{n})=(t_{n})+(w_{n})$ où $(t_{n})$ est une suite géométrique et $(w_{n})$ une suite arithmétique.

4) Calculer $T_{n}=t_{0}+t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{n}$ et $W_{n}=w_{0}+w_{1}+w_{2}+\ldots+w_{n}$, puis $U_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}$.

Exercice 4

On considère les suites numériques $(v_{n})$ et $(u_{n})$ définies sur $\mathbb{N}$ par : $\ln(7^{n}v_{n})=2n$ et $u_{n}=\ln v_{n}$

1) Calculer $v_{0}$ et $u_{0}$.

2) Montrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique et déterminer sa raison.
La suite $(v_{n})$ admet-elle une limite ?
Déterminer un entier $n_{0}$ tel que $\forall\;n>n_{0}$ on ait $v_{n}>100$.

3)  Montrer que la suite $(u_{n})$ est arithmétique et déterminer sa raison.
La suite $(u_{n})$ admet-elle une limite ?
Déterminer un entier $n_{1}$ tel que $\forall\;n>n_{1}$ on ait $u_{n}>100$.

4) Calculer $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}$, puis $\prod_{n}=v_{0}\times v_{1}\times v_{2}\times\ldots\times v_{n}$

Suites définies par des relations de récurrence

Exercice 1

Soit $(v_{n})$ la suite définie par $v_{n}=n\;u_{n}$ et $(u_{n})$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{lcl}
u_{1}&=& 1\\
\\
\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;;\  u_{n+1} &=& \dfrac{v_{n}+4}{n+1}
\end{array}\right.$

1) Montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.

2) En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis celle de $u_{n}$ en fonction de $n$.

Exercice 2

Soit $(a_{n})$ et $(b_{n})$ les suites réelles définies sur $\mathbb{N}$ par : $a_{0}=2\;,\ b_{0}=4$ et pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{4}(a_{n}+3b_{n})\text{ et }b_{n+1}=\dfrac{1}{4}(3a_{n}+b_{n})$

1) Soit $(u_{n})$ la suite réelle définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{n}=a_{n}+b_{n}$. Montrer que la suite $(u_{n})$ est constante.

2) Soit $(v_{n})$ la suite réelle définie sur $\mathbb{N}$ par $u_{n}=a_{n}-b_{n}$.

a) Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique convergente.

b) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.

3) Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$.
Montrer que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ convergent vers la même limite.

Exercice 3

Soit $a>1$ et $(u_{n})$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{lcl}
u_{0}&=& a\\
\\
\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\  u_{n+1} &=& \dfrac{3u_{n}-2}{2u_{n}-1}
\end{array}\right.$

1) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $(u_{n})$ existe et vérifie $u_{n}>1$.

2) Soit $(v_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}-1}$

a) montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ et de $a$, puis celle de $u_{n}$ en fonction de $n$ et de $a$.

Exercice 4

Soient $a$ et $b$ deux réels et $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par la donnée de $u_{0}$ et de la relation de récurrence : $$u_{n+1}=au_{n}+b$$
 
A) a) Que peut-on dire de la suite $(u_{n})$ dans le cas où $a=1\ ?$ Exprimer alors un en fonction de $u_{0}$ et $b$ et donner la limite de la suite quand $n$ tend vers $+\infty.$
 
b) Mêmes questions qu'au a) dans le cas où $b=0.$
 
B) On suppose que $a\neq 1$ et $b\neq 0$.
 
a) Tracer les droites d'équations respectives $y=ax+b$ et $y=x$ dans un même repère orthonormé, puis construire géométriquement les premiers termes de la suite en prenant $u_{0}=1$ dans chacun des cas suivants : $$(a\;,\ b)=(2\;,\ -3)\;;\quad (a\;,\ b)=\left(-\dfrac{1}{2}\;,\ 3\right)\;;\quad (a\;,\ b)=(-1\;,\ 3)$$
 
b) Montrer que si la suite $(u_{n})$ converge, sa limite $\ell$ vérifie $\ell=\dfrac{b}{1-a}.$
 
c) Soit $(v_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_{n}=u_{n}-\ell.$ Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
 
d) Calculer $v_{0}$ en fonction de $u_{0}\;,\ a\;,\ b$ et $n.$
 
e) Pour quelle valeur de $u_{0}$ la suite $(u_{n})$ est-elle stationnaire ?
 
f) Montrer que si $|a|<1$, la suite $(u_{n})$ converge vers $\ell.$
 
g) Montrer que si $a=-1$, la suite $(u_{n})$ est périodique.
 
h) Montrer que si la suite $(u_{n})$ n'est pas stationnaire et si l'on a $|a|>1$, alors les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont divergentes. 

Exercice 5

A) On considère la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{0}=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{2+u_{n}}{u_{n}}.$
 
a) Quelles sont les limites éventuelles de cette suite ?
 
b) On pose $v_{n}=\dfrac{u_{n}-2}{u_{n}+1}\ (\forall\;n\in\mathbb{N}.$
 
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\dfrac{1}{2}$, puis exprimer $v_{n}$ en fonction de $n.$
 
c) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de $(u_{n}).$
 
B) On considère maintenant la suite $(u_{n})$ définie par : $u_{0}=3$ et $u_{n+1}=\dfrac{4u_{n}-1}{u_{n}+2}.$
 
a) Montrer que l'équation $\dfrac{4x-1}{x+2}=x$ possède une seule solution $\alpha.$
 
b) On pose $v_{n}=u_{n}-\alpha\ (n\in\mathbb{N}).$  Montrer que $v_{n}$ n'est jamais nul et que la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}.$
 
c) Exprimer $\dfrac{1}{v_{n}}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n.$
 
d) En déduire $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}$.

Exercice 6

Le repère $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ est orthonormé. Soient les points $A_{0}(a\;,\ 0)$ et $A_{1}(0\;,\ b)$, avec $0<b<a.$ Pour tout $p$ de
$\mathbb{N}$, la droite orthogonale en $A_{2p+1}$ à la droite $(A_{2p}A_{2p+1})$ coupe la droite $(O\;,\ \vec{i})$ en $A_{2p+2}$; la droite orthogonale en $A_{2p+2}$ à la droite $(A_{2p+1}A_{2p+2})$ coupe la droite $(O\;,\ \vec{j})$ en $A_{2p+3}.$
 
Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+\infty$
 
a) de la longueur de la ligne polygonale $A_{0}A_{1}....A_{n}.$
 
b) de la somme des aires des triangles $OA_{0}A_{1}\;,\ OA_{1}A_{2}\;,\ ......\;,\ OA_{n-1}A_{n}.$

Suites adjacentes

Exercice 1

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles définies par :

$\left\{\begin{array}{lcl}
u_{1} &=& 12\\
\\
\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;;\ u_{n+1} &=& \dfrac{u_{n}+2v_{n}}{3}\end{array}\right.\quad\left\{\begin{array}{lcl}
v_{1} &=& 1\\
\\
\forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;;\ v_{n+1} &=& \dfrac{u_{n}+3v_{n}}{4}\end{array}\right.$

1) Pour tout entier $n\in\mathbb{N}^{*}$, on pose $w_{n}=v_{n}-u_{n}$.

a) Démontrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique.

b) Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$.

c) Démontrer que la suite $w_{n}$ est convergente et déterminer sa limite.

2) Démontrer que la suite $u_{n}$ est décroissante et que la suite $v_{n}$ est croissante.

3) Déduire de ce qui précède que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers une même limite.

4) Pour tout entier $n\in\mathbb{N}^{*}$, on pose $t_{n}=3u_{n}+8v_{n}$.

a) Démontrer que $(t_{n})$ est une suite constante.

b) En déduire la valeur de la limite commune des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$.

5) Calculer en fonction de $n$

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots+u_{n}$ et $\Sigma_{n}=v_{1}+v_{2}+v_{3}+\ldots+v_{n}$.

Exercice 2

On considère les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par $u_{0}=3\;,\ v_{0}=4$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+v_{n}}{2}\;,\ v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+v_{n}}{2}$. On pose $w_{n}=v_{n}-u_{n}$ et $t_{n}=\dfrac{1}{3}(u_{n}+2v_{n})$.

1) Démontrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique. Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ et déduire sa limite.

2) Démontrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes.

3) Démontrer que $(t_{n})$ est une suite constante.

4) Exprimer $(u_{n})$ et $(v_{n})$ en fonction de $n$, puis en déduire la valeur de la limite commune des suites.

Exercice 3

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites définies par :
 
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} u_{1}&=&1+\dfrac{1}{1!}\ =\ 2 \\ \\ \forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ u_{n}&=&1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}\end{array}\right.$$
 
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} v_{1}&=&u_{1}+\dfrac{1}{1!}\ =\ 3 \\ \\ \forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ v_{n}&=&u_{n}+\dfrac{1}{n!}\end{array}\right.$$
 
a) Montrer que ces deux suites sont adjacentes.
 
b) On désigne par $\mathrm{e}$ la limite commune de $(u_{n})$ et $(v_{n})$ quand $n$ tend vers l'infini et l'on suppose qu'il existe deux entiers $p$ et $q$ premiers entre eux tels que $\mathrm{e}=\dfrac{p}{q}.$ Montrer qu'on a alors : $$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\ldots+\dfrac{1}{q!}<\dfrac{p}{q}<1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\ldots+\dfrac{1}{q!}+\dfrac{1}{q!}$$ En déduire une contradiction.
 
c) Que peut-on en conclure quant à la nature du nombre $\mathrm{e}\ ?$

Exercice 4

Soit $u_{0}$ et $v_{0}$ deux réels tels que $0<v_{0}<u_{0}.$ On définit les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ par : $$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+v_{n}}{2}\;;\quad v_{n+1}=\dfrac{2u_{n}v_{n}}{u_{n}+v_{n}}$$
a) Démontrer par récurrence que :
 
$-\ \forall\;n\in\mathbb{N}^{*}\;,\ 0<u_{n}v_{n}$
 
$-\ (u_{n})$ est croissante et $(v_{n})$ est décroissante.
 
b) Montrer que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent vers la même limite.

Exercice 5

Soit $a$ un réel strictement positif et $\theta$ un réel de l'intervalle $\left]0\;;\ \dfrac{\pi}{2}\right[.$
 
Démontrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ définies par : 
 
$u_{n}=2^{n+1}a\sin\dfrac{\theta}{2^{n}}\;,\quad\text{et}\quad v_{n}=2^{n+1}a\tan\dfrac{\theta}{2^{n}}$ sont adjacentes et calculer leur limite commune.

Suites définies par une relation de la forme $u_{n+1}=f(u_{n})$

Exercice 1

La suite $(u_{n})$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $\left\{\begin{array}{lcl}
u_{0} &=& 0\\
u_{1} &=& 1\\
\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n+2} &=& 3u_{n+1}+4u_{n}\end{array}\right.$

1) Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$

2) $(s_{n})$ est la suite définie par : $
\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ s_{n}=u_{n+1}+u_{n}$

a) Démontrer que la suite $(s_{n})$ est géométrique.

b) Déterminer le terme général de $(s_{n})$ en fonction de $n$.

3) $(t_{n})$ est la suite définie par : $
\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ t_{n}=(-1)^{n}u_{n}$. $\ (v_{n})$ est la suite définie par : $
\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ v_{n}=t_{n+1}-t_{n}$.

a) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $s_{n}$, puis en fonction de $n$.

b) Exprimer $t_{n}$ en fonction de $n$.

c) En déduire le terme général $u_{n}$ de la suite $(u_{n})$ en fonction de l'entier $n$.

d) Calculer $u_{10}$ et examiner la limite de $(u_{n})$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1;\ +\infty$ par : $$f(x)=\ln(1+x)$$
On note $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n\;,\ u_{n+1}=\ln(1+u_{n})$.

1) Donner un tableau de valeurs approchées à $10^{-2}$ près des termes $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}\;,\ u_{5}\text{ et }u_{10}$

2) Tracer, dans un repère orthonormé $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$, la courbe représentative de $f$ et la droite d'équation $(y=x)$, puis construire à l'aide de ce tracé les points de $(O;\ \vec{i})$ d'abscisses respectives $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\ \text{ et }u_{4}$

3) Quelle conjecture peut-on réaliser ?

4) Montrer que $\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ u_{n}$ est positif.

5) Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

6) Déduire de ce qui précède que la suite $(u_{n})$ converge et que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=0$$

Exercice 3

Soit la suite numérique ($u_{n})$ définie par $u_{0}\in[0;\ 1]$ et $u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_{n}}{2}}$ pour tout entier naturel $n$.

1) Montrer que $\forall\;n\in\mathbb{N}\;;\ 0\leq u_{n}\leq 1$.

2) Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.

3) En déduire qu'elle admet une limite que l'on calculera.

4) On pose : $u_{0}=\cos\phi$ où $\phi\in\left[0;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Montrer par récurrence que $u_{n}=\cos\left( \dfrac{\phi}{2^{n}}\right)$.

Retrouver les résultats du 3.

Exercice 4

Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}$ et $u_{1}$ égaux à 1 et par la relation de récurrence : $u_{n+1}=u_{n+2}+u_{n}.$
 
1) Montrer que la suite $(u_{n})$ est positive et croissante.
 
Montrer que $\forall\;n\in\mathbb{N}\ :\ u_{n}\geq n.$
 
En déduire que la suite $(u_{n})$ n'est pas majorée.
 
2) Montrer que $\forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n}^{2}-u_{n+1}.u_{n-1}=(-1)^{n}.$
 
3) Montrer que la suite $(v_{n})$ telle que $v_{n}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ est convergente.
 
Quelle est sa limite ?

Suites et intégrales

Exercice 1

On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{*}$ par : $$u_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{p=1}^{n}\ln\dfrac{p}{n}$$

1) Soit $p$ un élément de $\mathbb{N}^{*}\;,$ utiliser la monotonie de la fonction $\ln$ pour justifier que : $$\dfrac{1}{n}\ln\dfrac{p}{n}\leq\int_{\frac{p}{n}}^{\frac{p+1}{n}}\ln x
\mathrm{d}x\leq\dfrac{1}{n}\ln\dfrac{p+1}{n}$$
2) Utiliser la première question pour démontrer que $$\dfrac{1}{n}\ln\dfrac{1}{n}+\int_{\frac{1}{n}}^{1}\ln x
\mathrm{d}x\leq u_{n}\leq\int_{\frac{1}{n}}^{1}\ln x
\mathrm{d}x$$
3) Déduisez-en que $(u_{n})$ converge vers (-1).

4) On considère la suite $(v_{n})$ définie sur $\mathbb{N}^{*}$ par : $$v_{n}=\dfrac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}$$ (on note $v_{n}=\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}$).

a) Montrer que pour tout élément $n$ de $\mathbb{N}^{*}\;,\ $ on a : $v_{n}=\mathrm{e}^{u_{n}}$.

b) Déduisez-en que $(v_{n})$ converge vers $\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;\ 1]$ par $f(x)=\sin(\pi x)$.

1) a) Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal.

b) Calculer  $I=\int_{0}^{1}\sin(\pi x)
\mathrm{d}x$.

c) Interpréter graphiquement cette intégrale.

2) Pour tout entier naturel $n\geq 2$, on pose : $$S_{n}=\dfrac{1}{n}\left[f(0)+f\left(\dfrac{1}{n}\right)+f\left(\dfrac{2}{n}\right)+\ldots+f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\right]$$

a) Interpréter graphiquement $S_{n}$, en introduisant les rectangles $R_{k}$ de base $\left[\dfrac{k}{n};\ \dfrac{k+1}{n}\right]$ et de hauteur $f\left(\dfrac{k}{n}\right)$, où $0\leq k\leq n-1$.

Faire la figure lorsque $n=5$.

b) Prouver que : $$1+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{n}}+\mathrm{e}^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{n}}+\ldots+\mathrm{e}^{\frac{(n-1)\mathrm{i}\pi}{n}}=\dfrac{2}{1-\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{n}}}$$

c) En déduire que : $$\sin\dfrac{\pi}{n}+\sin\dfrac{2\pi}{n}+\ldots+\sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}{2n}}{\sin\dfrac{\pi}{2n}}$$

d) Prouver finalement que $$\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}=\dfrac{2}{\pi}$$

3) Comparer les résultats des questions 1 et 2 et interpréter graphiquement.

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