Limites et Continuité - 1erS

Classe: 
Première

I Limites 

I.1 Limites à l'infinie

I.1.1 Limites infinies à l'infinie

Considérons la fonction $f$ définie par $f(x)=x^{2}$ ; son ensemble de définition est $D_{f}=\mathbb{R}.$
 
Examinons le tableau suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-10^{18}&-10^{9}&-10^{4}&-100&-10&-1&0&1&10&10^{2}&10^{4}&10^{6} \\ \hline f(x)&10^{36}&10^{18}&10^{8}&10^{4}&10^{2}&1&0&1&10^{2}&10^{4}&10^{8}&10^{12} \\ \hline\end{array}$$
Nous constatons que lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs de $f(x)$ deviennent de plus en plus grandes. On dira que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty.$
 
De même lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues mais en étant négatives, $f(x)$ prend des valeurs de plus en plus grandes. On dira que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty.$

Définitions intuitives 

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_{f}$.
 
$\centerdot\ \ $Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, si les $f(x)$ tendent vers $+\infty$ alors on dira que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $+\infty$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$$
 
$\centerdot\ \ $Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, si les $f(x)$ tendent vers $+\infty$ alors on dira que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $+\infty$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$$
 
$\centerdot\ \ $Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, si les $f(x)$ tendent vers $-\infty$ alors on dira que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $-\infty$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$$
 
$\centerdot\ \ $Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, si les $f(x)$ tendent vers $-\infty$ alors on dira que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $-\infty$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$$

I.1.2 Limites finies à l'infinie

Considérons la fonction $f$ définie sur $D_{f}=\mathbb{R}^{*}$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^{3}}.$
 
Soit le tableau de valeurs suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-10^{4}&-10^{2}&-10&10&10^{2}&10^{4}&10^{6} \\ \hline f(x)&-10^{-12}&-0.000001&-0.001&0.001&0.000001&10^{-12}&10^{-18} \\ \hline\end{array}$$ En examinant ce tableau, nous constatons que lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs de $f(x)$ restent très proches de 0. On dira que $f(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $+\infty.$
 
De même, lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues, tout en étant négatives, les valeurs de $f(x)$ deviennent de plus en plus proches de la valeur 0. On dira que $f(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $-\infty.$

Définitions intuitives 

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_{f}$ et $\ell\in\mathbb{R}.$
 
$\centerdot\ \ $Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, si les $f(x)$ tendent vers un réel $\ell$ alors on dira que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $\ell$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell$$
 
$\centerdot\ \ $Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, si les $f(x)$ tendent vers un réel $\ell$ alors on dira que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $\ell$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\ell$$

Remarque 

La limite lorsqu'elle existe, elle est unique.

I.2 Limites en un point $x_{0}$

Activité

Soit $f$ une fonction dont la courbe représentative $C_{f}$ est illustrée sur la figure ci-dessous.

 

 
 
En examinant ce graphique nous pouvons constater que les valeurs de $f(x)$ tendent vers $L$ lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ de part et d'autre.
 
Cet fait peut être exprimer en disant que $f(x)$ a pour limite $\ell$ lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell$$

I.2.1 Limite à gauche - limite à droite de $x_{0}$

Définitions

Soit $f$ une fonction d'ensemble de définition $D_{f}$ et $x_{0}$ un réel. 
 
$\centerdot\ \ $La limite éventuelle de la restriction de $f$ à $D_{f}\cap]-\infty\;;\ x_{0}[$ est appelée limite de $f$ à gauche au point $x_{0}$ ou encore la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ en étant inférieur à $x_{0}$, et on note : $$\lim_{\substack{x \to x_{0} \\ x<x_{0}}}f(x)\quad\text{ou plus simplement}\quad\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$$
 
$\centerdot\ \ $La limite éventuelle de la restriction de $f$ à $D_{f}\cap]x_{0}\;;\ +\infty[$ est appelée limite de $f$ à droite au point $x_{0}$ ou encore la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ en étant supérieur à $x_{0}$, et on note : $$\lim_{\substack{x \to x_{0} \\ x>x_{0}}}f(x)\quad\text{ou plus simplement}\quad\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$$

Théorème 

On dit que $f$ admet une limite fini $\ell$ en $x_{0}$ si et seulement si $$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=\ell$$

I.2.2 Limites infinies en $x_{0}$

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}\;;\quad D_{f}=\mathbb{R}^{*}.$
 
Examinons le tableau suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-0.1&-0.01&-10^{-4}&-10^{-8}&\cdots&0&\cdots&10^{-6}&10^{-3}&0.01&0.1 \\ \hline f(x)&-10&-100&-10^{4}&-10^{8}&\cdots&\times&\cdots&10^{6}&10^{3}&100&10 \\ \hline\end{array}$$
Nous constatons que lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de 0 en étant supérieures à 0, les valeurs de $f(x)$ deviennent de plus en plus grandes. On dira que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $0^{+}.$ On note : $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty$
 
De même lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de 0 en étant inférieures à 0, $f(x)$ prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues mais en étant négatives. On dira que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $0^{-}.$ On note : $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=-\infty$

Définitions intuitives  

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D_{f}$ et $x_{0}$ appartenant à l'intérieur de ce domaine :
 
$\centerdot\ \ $Lorsque $x$ tend vers $x_{0}$, si les $f(x)$ tendent vers $+\infty$ alors on dira que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $x_{0}$ est égale à $+\infty$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty$$
 
$\centerdot\ \ $Lorsque $x$ tend vers $x_{0}$, si les $f(x)$ tendent vers $-\infty$ alors on dira que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $x_{0}$ est égale à $-\infty$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=-\infty$$

I.2.3 Limites finies en $x_{0}$

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$. On a $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{2\}.$
 
Considérons le tableau suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&1.8&1.9&1.99&1.999&2.00001&2.0001&2.001&2.01&2.1 \\ \hline f(x)&3.8&3.9&3.99&3.999&4.00001&4.0001&4.001&4.01&4.1 \\ \hline\end{array}$$
Nous constatons que lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de 2 en restant dans $D_{f}$, les valeurs de $f(x)$ semblent s'approcher de la valeur 4. On exprime ce fait en disant que $f(x)$ tend vers $4$ quand $x$ tend vers $2.$ On note : $\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=4$

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $D\;,\ x_{0}$ appartenant à l'intérieur de ce domaine et $\ell$ un réel. Lorsque $x$ prend des valeurs proches de $x_{0}$, si les valeurs de $f(x)$ deviennent de plus en plus proches du réel $\ell$ alors on dira que $f(x)$ a pour limite $\ell$ lorsque $x$ tend vers $x_{0}$ et on note : $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell$$

Travaux pratiques 

Déterminer la limite des fonctions suivantes au point $x_{0}=1$
 
a) $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+1&\text{si}&x<1 \\ 3x^{2}-x-1&\text{si}&x>1\end{array}\right.$
 
b) $g(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-1&\text{si}&x<1 \\ \\ \dfrac{3x}{x^{2}+1}&\text{si}&x>1\end{array}\right.$
 
c) $h(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{2x}{x-1}&\text{si}&x>1 \\ \\ \dfrac{-x^{2}}{(x-1)^{2}}&\text{si}&x<1\end{array}\right.$

Résolution

a) $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}2x+1=2\times 1+1=3$
 
$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}3x^{2}-x-1=3\times(1)^{2}-1+1=3$
 
b) $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}x^{2}-1=1-1=0$
 
$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{3x}{x^{2}+1}=\dfrac{3\times 1}{1^{2}+1}=\dfrac{3}{2}$
 
c)  $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}h(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{2x}{x-1}$ or lorsque $x$ tend vers $1^{+}\;,\ (x-1)$ tend vers $0^{+}.$
 
Donc, $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{2}{(x-1)\rightarrow 0^{+}}=+\infty.$
 
D'où, $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}h(x)=+\infty$
 
$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}h(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{-x^{2}}{(x-1)^{2}}$ or lorsque $x$ tend vers $1^{-}\;,\ (x-1)$ tend vers $0^{-}$ et donc $(x-1)^{2}$ va tendre vers $0^{+}.$
 
Ainsi, $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{-x^{2}}{(x-1)^{2}}=\dfrac{-1}{(x-1)^{2}\rightarrow 0^{+}}=-\infty.$
 
D'où, $\lim_{x\rightarrow 1^{-}}h(x)=-\infty$

I.3 Opération sur les limites 

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de limites finies ou non. Les limites de $f+g\;,\ f\times g$ et de $\dfrac{f}{g}$ sont récapitulées dans les tableaux ci-dessous.
 
N.B : Dans les cas où on ne peut conclure, on dira qu'on est en face d'une indétermination ou simplement une "forme indéterminée" notée $(F.I)$

I.3.1 Limites d'une somme de deux fonctions

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell&\ell&\ell&+\infty&-\infty&+\infty \\ \hline \lim g&\ell'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty \\ \hline \lim (f+g)&\ell+\ell'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&F.I \\ \hline\end{array}$$

Exemple 

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x+1-\dfrac{1}{x^{3}}\right)=+\infty$ car en posant $f(x)=x+1$ et $g(x)=-\dfrac{1}{x^{3}}$ on a $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0.$
 
Donc, $\lim_{x\rightarrow +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty$ 
 
b) $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left(x+1-\dfrac{1}{x^{3}}\right)=+\infty$ car $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(x+1)=1$ et $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}-\dfrac{1}{x^{3}}=+\infty$
 
c) $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x^{3}-x^{2})\;,\ (F.I)$ car $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{3}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}-x^{2}=-\infty$ 

I.3.2 Limites d'un produit

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell&\ell>0&\ell<0&\ell>0&\ell<0&+\infty&-\infty&+\infty&0 \\ \hline \lim g&\ell'&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\infty \\ \hline \lim (f\times g)&\ell\times\ell'&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&+\infty&+\infty&-\infty&F.I \\ \hline\end{array}$$

Exemple 

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x^{2}+2x-3)=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{2}\left(1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{2}}\right)=+\infty$ car $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{2}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1$ du fait que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=0$
 
b) $\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2}+1)(x^{3}+2x+1)=1$ car $\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2}+1)=1$ et $\lim_{x\rightarrow 0}(x^{3}+2x+1)=1$
 
c) $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}(x^{2}-1)\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}\;,\ (F.I)$ car $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}(x^{2}-1)=0$ et $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}=+\infty$

I.3.3 Limites d'un quotient 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\infty&\ell&\ell&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty \\ \hline \lim g&\infty&\ell'\neq 0&\infty&\ell'<0&\ell'>0&\ell'<0&\ell'>0 \\ \hline \lim\left(\dfrac{f}{g}\right)&F.I&\dfrac{\ell}{\ell'}&0&-\infty&+\infty&+\infty&-\infty \\ \hline\end{array}$$
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \lim f&\ell>0&\ell>0&\ell<0&\ell<0&0 \\ \hline \lim g&0^{+}&0^{-}&0^{+}&0^{-}&0 \\ \hline \lim\left(\dfrac{f}{g}\right)&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty& F.I \\ \hline\end{array}$$

Exemple 

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{3}{x-2}=0^{+}$ car $\lim_{x\rightarrow +\infty}3=3$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x-2)=+\infty$
 
b) $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{x-1}{x^{3}}=+\infty$ car $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(x-1)=-1$ et $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x^{3}=0^{-}$
 
c) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{x}\;,\ (F.I)$ car $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x-1)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$

I.4 Méthodes de calcul des limites - levée d'une forme indéterminée

Pour calculer des limites ou pour lever une indétermination on peut procéder selon les méthodes suivantes :

Méthode 1 : utiliser l'un des théorème suivants 

Théorème 1

La limite en $\pm\infty$ d'un polynôme est la limite en $\pm\infty$ de son monôme de plus haut degré.

Théorème 2

La limite en $\pm\infty$ d'une fraction rationnelle est la limite en $\pm\infty$ du quotient de monôme de plus haut degré.

Exemple 

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{2}-2x+1=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{2}\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{2}$ car $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1$
 
donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{2}-2x+1=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{2}=+\infty$
 
b) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^{3}-2x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$

Méthode 2 : factoriser par $(x-x_{0})$

Si, pour une fonction rationnelle, $x_{0}$ annule aussi bien le numérateur que le dénominateur, alors pour chercher la limite de cette fonction en $x_{0}$ on factorise par $(x-x_{0})$ au numérateur comme au dénominateur et on simplifie.

Exemple 

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-6x+8}&=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-4)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{(x+2)}{(x-4)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{4}{-2}=-2\nonumber \end{eqnarray}
 
donc $$\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-6x+8}=-2$$

Méthode 3 : multiplier par l'expression conjuguée

Pour calculer la limite d'une fraction irrationnelle en un point $x_{0}$ annulant le numérateur et le dénominateur, on multiplie par l'expression conjuguée et on simplifie.

Exemple 

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}&=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{(\sqrt{2x+5}-3)(\sqrt{2x+5}+3)}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{2x+5-9}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{2x-4}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{2(x-2)}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{2}{\sqrt{2x+5}+3}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{2}{\sqrt{4+5}+3}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\nonumber \end{eqnarray}
 
donc $$\lim_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}=\dfrac{1}{3}$$

Méthode 4 : utiliser les théorèmes de comparaison

Soit $f\;,\ g\ :\ I\longrightarrow \mathbb{R}$ et soit $x_{0}\in I$ ou $x_{0}=\pm\infty$

Théorème 1

Si au voisinage de $x_{0}$ on a $f(x)\leq g(x)$ alors on a :
\begin{eqnarray} \text{si }\lim f(x)=+\infty&\text{alors}&\lim g(x)=+\infty\nonumber \\ \text{si }\lim g(x)=-\infty&\text{alors}&\lim f(x)=-\infty\nonumber \end{eqnarray}

Exemple 

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{+}$ par $f(x)=x-\sqrt{x}+4$
 
1) Montrer que $\forall\;x\in\;[0\;;\ +\infty[\;,\ f(x)\geq 3\sqrt{x}$
 
2) en déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$

Résolution

1) \begin{eqnarray} f(x)-3\sqrt{x}&=&x-\sqrt{x}+4-3\sqrt{x}\nonumber \\ &=&x-4\sqrt{x}+4\nonumber \\ &=&(\sqrt{x}-2)^{2}\geq 0\nonumber \end{eqnarray}
Donc, $f(x)-3\sqrt{x}\geq 0\ \Rightarrow\ f(x)\geq 3\sqrt{x}$
 
2) On a : $\lim_{x\rightarrow +\infty}3\sqrt{x}=+\infty$ et $f(x)\geq 3\sqrt{x}$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

Théorème 2 : (Théorème des gendarmes)

Si au voisinage de $x_{0}$ on a $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et que $\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=\ell$ (finie ou infinie) alors $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell$

Exemple

Calculer $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}\cos\dfrac{1}{x}$
 
Nous avons ; $-1\leq\cos\dfrac{1}{x}\leq 1\;,\ \forall\;x\ \Rightarrow\ -x^{2}\leq x^{2}\cos\dfrac{1}{x}\leq x^{2}$
 
Or, $\left.\begin{array}{lcl}\lim_{x\rightarrow 0^{+}}-x^{2}&=&0 \\ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}&=&0\end{array}\right\rbrace$ donc $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}x^{2}\cos\dfrac{1}{x}=0$

Corollaire du théorème des gendarmes

Si au voisinage de $x_{0}$ on a : $|f(x)-\ell|\leq g(x)$ et que $\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=0$ alors $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell$

Méthode 5 : utiliser le théorème de composée de fonctions

Théorème 

Soit deux fonctions $f$ et $g$ telles que : $f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}\;,\ g\ :\ J\longrightarrow\mathbb{R}$
 
$I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$ tels que $f(I)\subset J$ et soit $x_{0}\;,\ \ell\;,\ \ell'$ finis ou infinis, on a :
 
Si $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\ell$ et si $\lim_{x\rightarrow \ell}g(x)=\ell'$ alors $\lim_{x\rightarrow x_{0}}g\circ f(x)=\ell'$ 

Exemple 

a) Soit $h(x)=\sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}$, calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)$
 
Posons $f(x)=\dfrac{4x+5}{x-2}\;,\ g(x)=\sqrt{x}$ et $h(x)=g\circ f(x)$
 
alors, $g\circ f(x)=g[f(x)]=\sqrt{f(x)}=\sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}$
 
On a : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{4x+5}{x-2}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{4x}{4}=4$
 
donc \begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}&=&\lim_{x\rightarrow 4}g(x)\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 4}\sqrt{x}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 4}\sqrt{4}\nonumber \\ &=&2\nonumber \end{eqnarray}
 
donc, $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{4x+5}{x-2}}=2$$
 
b) On donne $h(x)=\sqrt{\dfrac{x+9}{x-2}}$, calculer $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}h(x)$
 
Soit $f(x)=\dfrac{x+9}{x-2}\;,\ g(x)=\sqrt{x}$ et $h(x)=g\circ f(x)$
 
On a : $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac{x+9}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac{11}{0^{+}}=+\infty$
 
donc, \begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{\dfrac{x+9}{x-2}}&=&\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}\nonumber \\ &=&+\infty\nonumber \end{eqnarray}
 
D'où, $$\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\sqrt{\dfrac{x+9}{x-2}}=+\infty$$

I.5 Notion d'asymptotes

Soit $f$ une fonction de courbe représentative $(C_{f})$.

I.5.1 Asymptote horizontale

Si $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\ell$ ou $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ alors on dira que $(C_{f})$ admet une asymptote horizontale $\Delta$ d'équation $y=\ell$

 

 
 
$(C_{f})$ s'approche de plus en plus de la droite $\Delta$ d'équation $y=\ell$ lorsque $x$ devient infini.

I.5.2 Asymptote verticale

Si $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=-\infty\text{ ou }(+\infty)$ ou $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=-\infty\text{ ou }(+\infty)$ alors on dit que $(C_{f})$ admet une asymptote verticale $\Delta'$ d'équation $x=x_{0}$

 $\centerdot\ \ \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=-\infty$


 

 

 $\centerdot\ \ \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=-\infty$

 

 
 
 

Exemple 

Soit $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$, on a $D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty\;;\ 1[\cup]1\;;\ +\infty[$
 
$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=1$, donc la droite $\Delta$ d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à $(C_{f})$
 
$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{x+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$
 
$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{x+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$ donc la droite $\Delta'$ d'équation $x=1$ est asymptote verticale à $(C_{f})$

illustration graphique 


 

 
 

I.5.3 Asymptote oblique

S'il existe une fonction affine $x\mapsto ax+b\;;\ (a\neq 0)$ telle que $\lim_{x\rightarrow \infty}[f(x)-(ax+b)]=0$, on dit que $(C_{f})$ admet une asymptote oblique d'équation $y=ax+b$

 
 

 
 

Exemple 

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x-1}$
 
$D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty\;;\ 1[\cup]1\;;\ +\infty[$ et $\forall\;x\in D_{f}\;,\ f(x)=2x+5+\dfrac{4}{x-1}$
 
Montrons que la droite d'équation $y=2x+5$ est asymptote oblique à $(C_{f})$.
 
On a : $f(x)-y=2x+5+\dfrac{4}{x-1}-(2x+5)=\dfrac{4}{x-1}$
 
$\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-y]=\lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{4}{x-1}=0^{-}$ et 
 
$\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-y]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{4}{x-1}=0^{+}$ donc la droite d'équation $y=2x+5$ est asymptote oblique à $(C_{f})$ au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty.$

illustration graphique 


 
 

 
 

Détermination pratique de $a$ et $b$ 

Dans l'équation $y=ax+b$, pour déterminer les coefficients $a$ et $b$ on procède comme suit :
 
calculer : $\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a$ et $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-ax=b$

Exemple 

$f(x)=\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x-1}$
\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}&=&\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x-1}}{x}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1}{(x-1)}\times\dfrac{1}{x}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x^{2}-x}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}\nonumber \\ &=&2\nonumber \end{eqnarray}
Donc,  $\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{f(x)}{x}=2\ \Rightarrow\ a=2$
 
Ainsi, \begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-2x&=&\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x-1}-2x\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1-2x^{2}+2x}{x-1}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{5x-1}{x-1}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow \infty}\dfrac{5x}{x}\nonumber \\ &=&5\nonumber \end{eqnarray}
Donc $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-2x=5\ \Rightarrow\ b=5$, d'où la droite d'équation $y=2x+5$ est asymptote oblique à $(C_{f})$ au voisinage de $\pm\infty.$ 

II Continuité 

II.1 Définition 

Soit $f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}$ et $x_{0}\in I$
 
$\centerdot\ \ $On dit que $f$ est continue en $x_{0}$ si, et seulement si, $$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$$
 
$\centerdot\ \ $On dit que $f$ est continue à gauche de $x_{0}$ si, et seulement si, $$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$$
 
$\centerdot\ \ $On dit que $f$ est continue à droite de $x_{0}$ si, et seulement si, $$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$$

Théorème 1

Soit $f\ :\ I\longrightarrow\mathbb{R}$ et $x_{0}\in I$
 
On dit que $f$ est continue en $x_{0}$ si, et seulement si, $f$ est continue à gauche et à droite de $x_{0}$, c'est-à-dire  $$\left\lbrace\begin{array}{lcl}\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)&=&f(x_{0}) \\ \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)&=&f(x_{0})\end{array}\right.$$

Exemple 

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl}\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{2x}&\text{si}&x>0 \\ \\ 2x-1&\text{si}&x\leq 0\end{array}\right.$
 
Étudier la continuité de $f$ en 0.

Résolution 

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)&=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{2x}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(\sqrt{1+x^{2}}-1)(\sqrt{1+x^{2}}+1)}{2x(\sqrt{1+x^{2}}+1)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{1+x^{2}-1}{2x(\sqrt{1+x^{2}}+1)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x^{2}}{2x(\sqrt{1+x^{2}}+1)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x}{2(\sqrt{1+x^{2}}+1)}\nonumber \\ &=&\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{0}{4}=0\nonumber \end{eqnarray}
or $f(0)=-1=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)$ donc $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)$
 
ainsi, $f$ n'est pas continue en 0.

Théorème 2

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en un point $x_{0}$ et $\alpha$ un réel ; alors les fonctions $\alpha f\;,\ (f+g)$ et $(f\times g)$ sont continues en $x_{0}.$
 
Si de plus $g(x_{0}\neq 0$ alors les fonctions $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont aussi continues en $x_{0}.$

II.2 Fonction continue sur un intervalle

Définition

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ si elle est continue en tout point de $I.$

Théorème 1

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$
 
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
 
La fonction $\sqrt{U}$ est continue sur son domaine de définition.
 
La fonction $|U|$ est continue sur son domaine de définition.

Théorème 2

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f$ soit continue sur un intervalle $I$ et $g$ continue sur un intervalle $J$ contenant $f(I)$ alors $g\circ f$ est continue sur $I.$

Prolongement par continuité d'une fonction 

Soit \begin{eqnarray} f\ :\ \mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\nonumber \\ x&\longrightarrow&\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\nonumber \end{eqnarray}
$D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\;,\ 1\notin D_{f}$ ; 
 
$f$ n'est pas continue au point 1. $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=F.I$
 
On a : $\forall\;x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\;,\ f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$
 
donc, $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}x+1=2$
 
Soit alors $g$ la fonction définie par $\left\lbrace\begin{array}{rcl} g(x)&=&x+1\quad\text{si }x\neq 1 \\ g(1)&=&2 \end{array}\right.$
 
$\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=\lim_{x\rightarrow 1}x+1=2$ donc $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=g(1)$
 
ainsi, $g$ est continue au point 1. D'où $g$ est appelé le prolongement par continuité de $f$ au point 1.

 

Auteur: 
Seyni Ndiaye
Professeur de Mathématiques au Lycée Technique et d’Industrie Maurice Delafosse

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