Relations trigonométriques dans un triangle rectangle 3e

Classe: 
Troisième

I. Projection orthogonale

1) Définition - construction

Soit (Δ) une droite donnée et A un point du plan n'appartenant pas à (Δ).
 
Construisons (Δ), la droite passant par A et perpendiculaire à (Δ).
 
Et soit H le point d'intersection de (Δ)  et  (Δ).
 
H est appelé projeté orthogonal de A sur (Δ).
 
On dit aussi que H est le pied de la perpendiculaire à (Δ), issue de A.

 
 

 
Soit M un point quelconque de (Δ) tel que MH, alors on a : AH<AM
 
La distance AH est donc inférieure aux distances AM pour tous les points M appartenant à (Δ) autres que H.

2) Propriété

Soient (Δ)  et  (Δ) deux droites sécantes en O.
 
A  et  B deux points distincts de (Δ)A  et  B les projetés orthogonaux respectifs de A  et  B sur (Δ), alors on a : AB<AB

 

 
Soit A le point d'intersection de (AA) à la parallèle à (AB) passant par B.
 
On aura ABBB un parallélogramme, alors AB=AB.
 
Et comme AB<AB, donc AB<AB

3) Rapport de projection orthogonale

a) Activité

Soient [Ox)  et  [Oy) deux demi-droites de même origine O et de supports non parallèles tels que ^xOy=60.
 
Soient A, B  et  C trois points de [Oy) tels que OA=5cm, OB=8cm  et  OC=10cm.
 
A, B  et  C sont les projetés orthogonaux respectivement de A, B  et  C sur [Ox).

 

 
On a : OA=2.5cm, OB=4cm  et  OC=5cm.
 
Alors, OAOA=2.55=12, OBOB=48=12 et OCOC=510=12.
 
ABAB=1.53=12  et  ACAC=2.55=12
 
Donc, OAOA=OBOB=OCOC=ABAB=ACAC=12

b) Définition

Soient (Δ)  et  (Δ) deux droites non parallèles, A  et  B deux points de (Δ), A, B leur projetés orthogonaux respectifs sur la droite (Δ).
 
On appelle rapport de projeté orthogonal sur la droite (Δ) à la droite (Δ) le rapport ABAB.

 
 

 
Si on désigne par r ce rapport de projection orthogonale de (Δ) sur (Δ).
 
On écrira : r=OAOA=OBOB=ABAB

Remarque :

Le rapport de projection orthogonale de la droite (Δ) sur la droite (Δ) est indépendant de la position de A  et  B sur (Δ) mais dépend uniquement de l'angle formé par les deux droites.

c) Propriétés :

Le rapport de projection orthogonale de la droite (Δ) sur la droite (Δ) est égal au rapport de projection de la droite (Δ) sur la droite (Δ).
 
On dira que le rapport de projection orthogonale est symétrique.

 
 

 
r=OMOM=ONON

d) Valeurs du rapport

Soit r le rapport de projection orthogonale des droites (Δ)  et  (Δ).
 
   (Δ)  et  (Δ) sécantes en O

 
 

 
On a : OA<OA
 
Alors, OAOA<OAOA
 
Donc, r<1

Remarque :

Si (Δ)(Δ) alors, r=0
 
D'où, 0r<1
 
(Δ)  et  (Δ) sont confondues 

 

 
On a : r=OAOA=OAOA=1

II. Relations trigonométriques dans un triangle rectangle

Rappel

Soit ABC un triangle rectangle en A, x  et  y les angles respectifs aux sommets B  et  C

 
 

 

   On a x<90  et  y<90  et  x+y=90.
 
Dans un triangle rectangle, on a deux angles aigus complémentaires.
 
   Si ABC un triangle et ^ABC+^ACB=90 alors, ABC est un triangle rectangle en A.
 
Si dans un triangle, on a deux angles complémentaires alors, c'est un triangle rectangle.
 
   Si ABC un triangle rectangle en A, alors BC>AB  et  BC>AC.
 
Dans un triangle rectangle le côté opposé à l'angle droit est le plus grand côté et il est appelé l'hypoténuse.
 
   Si ABC un triangle rectangle en A alors, BC2=AB2+AC2.
 
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la mesure des carrés des deux autres côtés (théorème de Pythagore)
 
   Si ABC un triangle rectangle et BC2=AB2+AC2 alors, ABC est rectangle en A.
 
Si dans un triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors c'est un triangle rectangle.
 
   On appelle côté opposé à un angle aigu, le côté qui fait face à l'angle aigu dans le triangle rectangle.
 
[AB]  et  [AC] sont appelés côtés opposés aux angles respectifs y  et  x.
 
   On appelle côté adjacent à un angle aigu dans un triangle rectangle, le côté qui porte l'angle dans le triangle autre que l'hypoténuse.
 
[AB]  et  [AC] sont appelés côtés adjacents aux angles respectifs x  et  y.

III. Cosinus d'un angle aigu

On appelle cosinus d'un angle aigu x, noté cosx, le rapport de la longueur du côté adjacent à l'ange x sur la longueur de l'hypoténuse.
 
On écrira : cosx=côté adjacent à xhypoténuse
Ainsi, cosx=ABBC et cosy=ACBC 

Exemple 1 :

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=4cm  et  BC=5cm

 

 
 
1) Calcul de AC
 
On a ABC triangle rectangle en A alors, AB2+AC2=BC2
 
Donc, AC2=BC2AB2
 
Ainsi, AC=BC2AB2
 
D'où, AC=2516=3cm
 
2) Calcul de cos^ABC  et  cos^ACB
 
On a ABC triangle rectangle en A, alors cos^ABC=ABBC  et  cos^ACB=ACBC
 
Donc, cos^ABC=45  et  cos^ACB=35
 
D'où, cos^ABC=0.8  et  cos^ACB=0.6

Exemple 2 :

On considère la figure suivante 

 

 
On donne AB=3m  et  cos60=12
 
1) Calcul de la longueur de l'échelle : BC
 
On a ABC triangle rectangle en A, alors cos^ABC=ABBC 
 
Donc, BC=ABcos^ABC 
 
Ainsi, BC=3cos60=312
 
D'où, BC=3×21=6m
 
2) Calcul de AC (hauteur du pied de l'échelle sur le mur au sol)
 
On a ABC triangle rectangle en A, alors AB2+AC2=BC2
 
Donc, AC2=BC2AB2
 
Ainsi, AC=BC2AB2
 
D'où, AC=369=27=33m
 
3) Mesure de ^ACB
 
On a ABC un triangle rectangle en A
 
Alors, ^ABC+^ACB=90
 
Donc, ^ACB=90^ABC
 
Ainsi, ^ACB=9060
 
D'où, ^ACB=30
 
4) Calcul de cos^ACB 
 
On a ABC triangle rectangle en A, alors cos^ACB=ACBC
 
Donc, cos^ACB=336
 
D'où, cos^ACB=32

IV. Sinus d'un angle aigu

On appelle sinus d'un angle aigu x, noté sinx, le rapport de la longueur du côté opposé à l'ange x sur la longueur de l'hypoténuse.
 
On écrira : sinx=côté opposé à xhypoténuse
Ainsi, sinx=ACBC et siny=ABBC

V. Sinus et cosinus d'angles complémentaires

On avait sinx=ACBC et cosx=ABBC
siny=ABBC et cosy=ACBC
Alors, sinx=cosy et siny=cosx
 
Si deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre.
Si x+y=90, alors cosx=siny et cosy=sinx

VI. Relation entre sinus et cosinus d'un angle aigu

On a ABC un triangle rectangle en A
 
Alors, AB2+AC2=BC2
 
Donc, AB2BC2+AC2BC2=BC2BC2
 
c'est à dire (ABBC)2+(ACBC)2=1
 
Ainsi, (cosx)2+(sinx)2=1
 
en posant (cosx)2=cos2x et (sinx)2=sin2x
 
on obtient cos2x+sin2x=1

Exemple :

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=4cm

 

 
l'angle  ^ABC=60 et sin60=32
 
Calculons BC et AC
 
On a : cos2^ABC+sin2^ABC=1
 
Alors, cos2^ABC=1sin2^ABC
 
Donc, cos^ABC=1sin2^ABC
 
Ainsi, cos^ABC=1(32)2=134=14=12
 
Par suite, cos^ABC=ABBC
 
c'est à dire BC=ABcos^ABC=412=8cm
 
et sin^ABC=ACBC 
 
Ce qui donne : AC=BC×sin^ABC
 
Donc, AC=8×32=43cm

VII. Tangente d'un angle aigu

On appelle tangente d'un angle aigu x, notée tanx ou tgx, le rapport du sinus de l'angle x par son cosinus.
 
On écrira : tanx=sinxcosxettany=sinycosy
 
Autres formulations :
 
On a : tanx=sinxcosx
 
Or, sinx=ACBC et cosx=ABBC
 
Alors, tanx=ACBCABBC
 
Donc, tanx=ACBC×BCAB
 
D'où, tanx=ACAB
 
La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle se définit comme étant le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle par son côté adjacent.
 
On écrira : tanx=côté opposé à xcôté adjacent à x
Ainsi, tanx=ACAB et tany=ABAC 

Remarque :

Si deux angles complémentaires, la tangente de l'une est égale à l'inverse de la tangente de l'autre.
 
Si x+y=90, alors tanx=1tany

VIII. Sinus, cosinus et tangente d'angles remarquables

Angle x030456090Sinus01222321Cosinus13222120Tangente03313×

XI. Applications : Relations métriques dans un triangle rectangle

Soit ABC un triangle rectangle en A, H le projeté orthogonal de A sur (BC).
 
On donne AB=4cm, AC=3cm  et  BC=5cm

 
 

 
   Exprimons cos^ABC de deux manières
 
On a ABC un triangle rectangle en A, alors cos^ABC=ABBC.
 
De même on a ABH un triangle rectangle en H, alors cos^ABH=BHAB
 
Or, ^ABH=^ABC
 
Donc, cos^ABC=BHAB
 
   Relations entre AB, BC  et  BH
 
On a : cos^ABC=ABBC  et   cos^ABC=BHAB
 
Alors, ABBC=BHAB
 
Donc, AB2=BH×BC1erelation métrique
 
Valeur de BH
 
On a : AB2=BH×BC
 
Alors, BH=AB2BC
 
Donc, BH=165=3.2cm
 
   Relations entre AC, BC  et  CH
 
On a ABC un triangle rectangle en A 
 
Alors, cos^ACB=ACBC
 
De même on a ACH un triangle rectangle en H, alors cos^ACH=CHAC
 
Or, ^ACH=^ACB
 
Donc, cos^ACB=CHAC
 
Par suite, ACBC=CHAC
 
D'où, AC2=CH×BC2erelation métrique
 
Valeur de CH
 
On aura CH=AC2BC
 
Donc, BH=95=1.8cm
 
   Relations entre AH, BH  et  CH
 
On a ABH un triangle rectangle en H, alors tan^ABH=AHBH
 
Or, ^ABH=^ABC
 
Donc, tan^ABC=AHBH
 
De même on a ACH un triangle rectangle en H, alors tan^ACH=AHCH
 
Or, ^ACH=^ACB
 
Donc, tan^ACB=AHCH
 
et comme ^ABC+^ACB=90, on aura tan^ABC=1tan^ACB
 
Par suite, AHBH=1AHCH
 
Ainsi, AHBH=CHAH
 
D'où,  AH2=BH×CH3erelation métrique
 
Valeur de AH
 
On aura AH=BH×CH
 
Donc, BH=165×95=125=2.4cm
 
 
Auteur: 
Abdoulaye Ba

Commentaires

Vaudrai

VRAIMENT TRES INTERESSANT

VRAIMENT TRÈS INTÉRESSANT

En suivant ces bases de réussite

Bonsoir les cours sont vraiment intéressants et très détaillés. Merci et bonne continuation

Intéressant

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