Série N°3 : Fonction numérique : Notion de fonction - 1er L
Exercice 1
Domaine de définition
Précise le domaine de définition de chacune des fonctions
a. $f(x)=x^{3}-4x+4$ ;
b. $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x+4}$ ;
c. $f(x)=\sqrt{4-8x}$ ;
d. $f(x)=\dfrac{x^{2}-x+3}{x^{2}+3}$ ;
Exercice 2 :
Domaine de définition
Détermine le domaine de définition de chacune des fonctions
a. $f(x)=2x^{3}-5x^{2}+x-1$ ;
b. $f(x)=\dfrac{x-7}{2x}$ ;
c. $f(x)=\sqrt{x^{2}-3x+2}$ ;
d. $f(x)=\sqrt{\dfrac{x-2}{x+1}}$
Exercice 3
Domaine de définition
Détermine le domaine de définition de chacune des fonctions
a. $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}-x+2}$ ;
b. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ ;
c. $f(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-3x+2}{x+1}}$ ;
d. $f(x)=\dfrac{7}{2x-4}$ ;
e. $f(x)=\left|\dfrac{2x-1}{4-8x}\right|$ ;
f. $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-x-2}}{x-5}$ ;
g. $f(x)=\dfrac{5x-10}{\sqrt{-x+4}}$ ;
h. $f(x)=3x-1+\dfrac{x}{x-2}$ ;
i. $f(x)=\sqrt{x+4}+\dfrac{5}{x-3}$
Exercice 4
Fonction polynôme : Image et antécédent
On donne la fonction polynôme $f$ définie par : $f(x)=-x^{2}+2x+3$
1. Calculer l'image par $f$ de chacun des nombres : $-2$ ; $1$ et $\dfrac{1}{2}$
2. Calculer les antécédents des nombres par $f$ de chacun des nombres : $0\ ;\ -1$ et $2$
Exercice 5
Fonction rationnelle : Image et antécédent
On donne la fonction polynôme $g$ définie par : $g(x)=\dfrac{3x-4}{x+1}$
1. Calculer l'image par $g$ de chacun des nombres : $-3$ et $2$
2. Calculer les antécédents des nombres par $g$ de chacun des nombres : $-1$ et $\dfrac{1}{2}$
Rappel du cours portant sur la partie d'une fonction
1. Pour montrer qu'une fonction $f$ est paire :
a. On calcule $f(-x)$ en remplaçant $x$ par $(-x)$ dans l'expression de $f(x)$
b. On montre que $f(-x)=f(x)$
2. Pour montrer qu'une fonction $f$ est impaire :
a. On calcule $f(-x)$ en remplaçant $x$ par $(-x)$ dans l'expression de $f(x)$
b. On calcule $-f(x)$
c. On montre que $f(-x)=-f(x)$
Exercice 6
Parité d'une fonction
Étudier la parité de chacune des fonctions ci-dessous après avoir donné leur domaine de définition.
1. $f(x)=x^{3}-4x+4$ ;
2. $(x)=\dfrac{x^{2}-5}{x}$ ;
3. $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}+2}$ ;
4. $f(x)=x\left(x^{2}-1\right)$
Exercice 7
Parité dune fonction
Étudier la parité de chacune des fonctions ci-dessous après avoir donné leur domaine de définition.
1. $f(x)=|x|-9$ ;
2. $f(x)=\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}-4}{x}$
3. $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{3}}$ ;
4. $f(x)=\dfrac{1}{4}x^{3}-x^{2}+1+2x$ ;
5. $f(x)=\dfrac{x^{4}-2}{x^{2}+9}$ ;
6. $f(x)=\dfrac{x^{2}-3}{x}$
La droite $(d)(x=a)$ est axe de symétrie de la courbe $C_{f}$ si et seulement si , pour tout $x$ de $Df$
i. $\left(2a-x\right)\in Df$
ii. $f\left(2a-x\right)=f(x)$
Exercice 8
Axe de symétrie d'une fonction
Dans chacun des cas, démontre que la droite $(d)$ est un axe de symétrique
a. $f(x)=x^{2}-4x-1\quad (d)\ :\ x=2.$
b. $f(x)=-x^{2}-2x+1\quad (d)\ :\ x=-1$
c. $f(x)=-3x^{2}+4x+1\quad (d)\ :\ x=\dfrac{2}{3}$
d. $f(x)=\left|\dfrac{2}{x+2}\right|\quad (d)\ :\ x=-1$
Le point $A(a\ ;\ b)$ est centre de symétrique de $Cf$ si et seulement si, pour tout $x$ de $Df$ :
$i. (2a-x)\in Cf$
$ii. f(2a-x)+f(x)=2b$
Exercice 9
Centre de symétrie d'une fonction
Dans chacun des cas, démontre que le point $A$ est un centre de symétrique.
a. $f(x)=x^{3}-3x+2\quad\quad A(0\ ;\ 2)$ ;
b. $f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}\quad\quad A(-1\ ;\ 2)$ ;
c. $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{2(x-1}\quad\quad A(1\ ;\ 1)$ ;
d. $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+4}{x-1}\quad\quad A(1\ ;\ -2)$ ;
Exercice 10
Approfondissement
Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+3}{x+2}$
1. Détermine le domaine de définition de $f.$
2. Étudie la parité de $f.$
3. Montre que $\Omega(0\ ;\ 2)$ est centre de symétrique à $Cf$
Exercice 11
Approfondissement
Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{-x}$
1. Détermine le domaine de définition de $f.$
2. Étudie la parité de $f.$
3. Montre que $\Omega(0\ ;\ 2)$ est centre de symétrique à $Cf$
Exercice 12
Approfondissement
Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x)=x^{2}-4x-1$
1. Détermine le domaine de définition de $f.$
2. Étudie la parité de $f.$
3. Montre que $(d)\ :\ x=2$ est un axe de symétrique à $Cf$
Exercice 13
Approfondissement
Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x)=-x^{2}-2x+1$
1. Détermine le domaine de définition de f$f.$
2. Étudie la parité de $f.$
3. Montre que $(d)\ :\ x=-1$ est un axe de symétrique à $Cf.$
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