Systèmes d'équations linéaires - 2nd L
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Terminale
1. Généralités
a. définition
On appelle système de deux équations linéaires à deux inconnues tout système qui peut se mettre sous forme :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c' \end{array}\right.$ où $a\;,b\;,c\;,c\;,a'\;,b'\;,c'$ sont deux réels donnés.
Une solution d'un tel système est un couple $(x\ ;\ y)$ tels que $(x\ ;\ )$ soit solution de chacune des deux équations.
Résoudre un système c'est déterminer tous les couples solutions du système.
Exemple ;
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3y&=&11\\ 3x-5y&=& \end{array}\right.$ est un système linéaire. Le couple $(4\ ;\ 1)$ est une solution de ce système.
b. Interprétation graphique
Le plan est muni d'un repère $\left(O\ .\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$
Soit le système $(S)\left\lbrace\begin{array}{rc} ax+by&=&c\\\quad (1) a'x+b'y&=&c'\quad (2) \end{array}\right.$où $a$ et $b$ d'une part, $a'$ et $b'$ d'autre part ne sont pas simultanément nuls.
Les équations $(1)$ et $(2)$ du système sont les équations de deux droites $\left(D_{1}\right)$ et $\left(D_{2}\right)$
Dire qu'un couple $(x\;,y)$ est solution du système $(S)$ revient donc à dire que le point $M$ de coordonnées $(x\ ;\ y)$ est un point d'intersection des deux droites.
2. Résolution des systèmes
Soit $(S)$ le $\left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+by&=&c\\ a'x+b'y&=&c' \end{array}\right.$
On appelle déterminant de $(S)$ le nombre réel noté $d$ et $(S)$ défini par $d$ et $(S)=ab'-a'b$
Le tableau ci-dessous regroupe les possibles :
5. Comment résoudre un problème ?
Pour résoudre un problème, on peut procéder suit :
$-\ $d'abord, faire le choix des inconnues ;
$-\ $ensuite, traduire les énoncés du problème à des équations du premier degré à deux inconnues ;
$-\ $en outre, former un système d'équations à partir des deux équations trouvées ;
$-\ $en fin résoudre ce système par la méthode de votre choix, si la méthode n'est pas indiquée.
Exemples :
Problèmes :
II. Système d'inéquations du première
1. Définition :
$\ast\ $Inéquation du premier degré à deux inconnues :
On appelle inéquation du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$ toute inéquation qui peut se ramener sous la forme :
$ax+by+c\leq 0(\text{ ou }>0\text{ ou }\geq 0\text{ ou }<0)$
Exemples :
$\ast\ $Système d'inéquations du premier degré à deux inconnues :
On appelle système de deux ou trois inéquations du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$, tout système se ramenant à :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+by+c&\leq&0 (\text{ ou }>0\text{ ou }\geq 0\text{ ou }<0)\text{ ou bien}\\ a'x+b'y+c'&<&0(\text{ ou }\geq 0\text{ ou }<0\text{ ou }\leq) \end{array}\right.$
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} ax+by+c&>&(\text{ ou }\geq 0\text{ ou }<0\text{ ou }\leq 0)\\ a'x+b'y+c'&\geq&0(\text{ ou }\geq 0\text{ ou }\leq0\text{ ou }>0)\\ a"x+b"y+c"&<&0(\text{ ou }\geq 0\text{ ou }>0\text{ ou }\leq 0) \end{array}\right.$
Exemples :
2. Région du plan :
Propriétés :
Toute droite $(\Delta)$ d'équation : $ax+by+c$ divise le plan en deux demi-plans ouverts :
$-\ $pour tout point $M(x\ ;\ )$ de l'un des demi-plans, on a : $ax+by+c>0$ ;
$-\ $pour tout point $M(x\ ;\ y)$ de l'autre demi-plan, on a :
$ax+by+c<0$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&\\ \hline &&&&&&\\ \hline &&&&&&\\ \hline &&&&&&\\ \hline &&&&&&\\ \hline &&&&&&\\ \hline \end{array}$
Exemple :
Construire la droite $(\Delta)$ d'équation : $2x+y-4=0$ dans un repère orthogonal $(O\;,\ I\;, J)$
3. Comment résoudre une inéquation ?
Pour résoudre une inéquation du premier degré à deux inconnues $x$ et $y$, on peut procéder comme suit :
$\ast\ $on trace la droite $(D)$ ou $(\Delta)$ d'équation : $ax+by+c=0$ dans un repère orthogonal $(O\;, I\;, J)$
$\ast\ $on détermine le demi-plan solution en choisissant un point de coordonnées $(x\ ;\ y)$ qui n'est pas sur la droite tracée et on teste l'inéquation : $ax+by+c\leq 0(\text{ ou }>0\text{ ou }\geq 0\text{ ou }<0)$
par les cordonnées de ce point. Et pour cela, on peut rencontrer un des deux cas :
$- $si l'inéquation est vérifiée, alors les solutions sont les couples $(x\ ;\ y)$ coordonnées des points situés dans ce demi-plan ;
$-\ $si l'inéquation n'est pas vérifiée, alors les solutions sont les couples $(x\ ;\ )$ coordonnées des points situés dans l'autre demi-plan.
Exemples :
4. Comment résoudre un système d'inéquations ?
Résoudre un système d'inéquations revient à déterminer l'ensemble des points de coordonnées $(x\ ;\ y)$ qui vérifient à la fois les deux ou bien les trois inéquations du système.
Autrement dit, résoudre un système d'inéquations c'est déterminer le demi-plan solution ou bien une partie qui est solution du système.
Exemples :
NB :
$\ast\ $Tout nombre réel négatif est toujours plus petit que nombre réel zéro :
$-5<0$ vraie ; $-2\leq 0$ vraie ; $-7\geq 0$ fausse ; $-20000>0$ fausse ;
$\ast\ $Tout nombre réel positif est toujours plus grand que nombre réel zéro :
$-2\geq 0$ vraie ; $1>0$ vraie ; $14\leq 0$ fausse ; $\sqrt{2}<0$ fausse.
Série d'exercices :
Exercice 1 :
Résoudre chacun des systèmes suivants par la méthode indiquée :
a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&\dfrac{3}{4}\\ 5x+2y&=&3 \end{array}\right.$ ;
b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y&=&5\\ x-2y&=&3 \end{array}\right.$ ;
c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y&=&1\\ x+y&=&-4 \end{array}\right.$ ;
d. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-y+2&=&0\\ 3x-y-1&=&0 \end{array}\right.$ ;
e. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2y+x&=&5\\ -y+7&=&4 \end{array}\right.$ ;
f. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-y&=&2\\ 2x-y&=&1 \end{array}\right.$ ;
g. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&3\\ -y+4&=&x-2 \end{array}\right.$ ;
h. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&5\\ x+2y&=&4 \end{array}\right.$ ;
i. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-3y&=&11\\ 2x-y&=&8 \end{array}\right.$ ;
j. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} -4x+y&=&2\\ 3x-y&=&-4 \end{array}\right.$ ;
k. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y&=&3\\ 3x-y&=&5 \end{array}\right.$ ;
l. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-2y&=&5\\ 2x+y&=&1 \end{array}\right.$ ;
m. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}&=&7\\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}&=&8 \end{array}\right.$
n. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{5}&=&5\\ \dfrac{2x}{3}-\dfrac{y}{2}&=&8 \end{array}\right.$
o. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{4}&=&11\\ x+2y&=&11 \end{array}\right.$
p. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\sqrt{2}-5y\sqrt{3}&=&17\\ x\sqrt{6}+y&=&\sqrt{3} \end{array}\right.$
q. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y-4&=&0\\ x+5y-13&=&0\\ -3x+2y+5&=&0 \end{array}\right.$ ;
r. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} -x+y-3&=&0\\ -2x+2y+1&=&0\\ 3x-2y-4&=&0 \end{array}\right.$
1. méthode de substitution : $a. \ ;\ b.\ ;\ c$ et $d.$
2. méthode d'addition : $e. \ ;\ f.\ ;\ h.\ ;\ q$ et $r$
3. méthode graphique : $i$ ; $j$ ; $k$ et $l$$
4. méthode de CRAMER : $m$ ; $n$ ; $o$ ; $p$ ; $q$ rt $r$
Exercice 2 :
Le périmètre d'un rectangle est $220m.$
Sa la largeur a $100$ de moins que sa longueur.
Quelles sont ses dimensions ?
Exercice 3 : Une salle de théâtre compte 400 places. Les « parterres » sont à $1500\,F$ et les « balcons » à $1200\,F.$
La recette quand la salle est pleine est $534000.$
Combien y-a-t-il de « parterres » et de « balcons » ?
Exercice 3 :
Une boite contient $10$ billles.
Les unes sont rouges et les autres bleues.
On ajoute 3 billes et 2 billes rouges.
Il y a alors deux fois plus de billes bleues que de billes rouges.
Combien y-a-t-il de billes de chaque couleur dans la boite ?
Exercice 4 :
Résoudre graphiquement chacun des systèmes suivants :
a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y+3\leq 0\\ y-2x+1\leq0 \end{array}\right.$ ;
b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3y\geq 0\\ x-2y+1<0 \end{array}\right.$ ;
c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+3\leq 0\\ 2x+y-1\leq 0 \end{array}\right.$ ;
d. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+y-5> 0\\ 2x+y-5<0 \end{array}\right.$ ;
e. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+3\leq 0\\ 2x+y-1\leq 0 \end{array}\right.$ ;
f. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2<0\\ x+2y<-2 \end{array}\right.$ ;
g. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} y&<&3\\ x&>&-2\\ y&>&2x-1 \end{array}\right.$ ;
h. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&>&0\\ x\&geq&0\\ y&>&-x+3.5 \end{array}\right.$
Exercice 5 :
Un collectionneur veut acheter, pour remplir un rayon de sa bibliothèque, des livres de $4\,cm$ d'épaisseur et des livres de $5\,cm$ d'épaisseur.
Il souhaite avoir au moins $7$ livres de la première sorte, au moins $8$ livres de la deuxième sorte et la longueur du rayon ainsi constituée soit strictement comprise entre $60\,cm$ et $80\,cm$
1. Traduire ces données par un système d'inéquation.
2. Déterminer tous les couples d'entiers répondant aux exigences précisées ci-dessus.
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