BAC S COMPLEXE Etranger_juin 2004

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, unitŽé graphique : 2 ~cm.

On appelle A le point d'affixe $- 2\text{i}$.

À tout point $M$ du plan d'affixe $z$, on associe le point
$M'$ d'affixe

\[z'= -2\overline{z} + 2\text{i}.\]

On considère le point B d'affixe $b = 3-2\text{i}$.

DŽéterminer la forme algŽébrique des affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et
$B'$ associŽés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le
dessin.

Montrer que si $M$ appartient ˆà la droite ($\Delta$) d'Žéquation $y = -
2$ alors $M'$ appartient aussi ˆà ($\Delta$).

DŽémontrer que pour tout point $M$ d'affixe $z~, \left|z' +
2\text{i}\right| = 2|z + 2\text{i}|$ ; interprŽétez gŽéométriquement
cette Žégalité.

Pour tout point $M$ distinct de A on appelle $\theta$ un argument de
$z + 2\text{i}$.

Justifier que $\theta$ est une mesure de l'angle
$\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{\text{A}M}\right)$.

DŽémontrer que $(z+2\text{i})(z'+2\text{i})$ est un rŽéel nŽégatif ou nul.

En dŽéduire un argument de $z'+2\text{i}$ en fonction de $\theta$.

Que peut-on en dŽéduire pour les demi-droites [A$M$) et [A$M'$) ?

\textbf{5.} En utilisant les rŽésultats prŽécéŽdents, proposer une construction gŽéomŽétrique du point $M'$ associŽé au point $M$.