BAC S COMPLEXE Metropole_juin 2004

Dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Montrer que $(1 + \text{i})^6 = - 8\text{i}$.

On considère l'équation (E) : $z^2 = - 8\text{i}$.

Déduire de \textbf{1.} une solution de l'équation (E).

L'équation (E) possède une autre solution ; écrire cette
solution sous forme algébrique.

Déduire également de \textbf{1.} une solution de l'équation (E') $z^3 = - 8\text{i}$.

On considère le point A d'affixe 2i et la rotation $r$ de centre O et
d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

Déterminer l'affixe $b$ du point $B$, image de A par $r$, ainsi que l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par $r$.

Montrer que $b$ et $c$ sont solutions de (E$'$).

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 2m), représenter les points A, $B$ et $C$.

Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ?

Déterminer le centre de gravité de cette figure.