BAC S Complexe LIBAN 2012

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Un triangle

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2$,

$b = 3+\text{i}\sqrt{3}$ et $c=2\text{i}\sqrt{3}$.

Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
En déduire que l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est $1+\text{i}\sqrt{3}$.

Une transformation du plan

On note $(z_n)$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_O=0$, et telle que:
\[
z_{n+1}=\frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}z_n+2,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.
\]
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.

Montrer que les points $A_2$, $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives:
\[
3+\text{i}\sqrt{3},\quad 2+2\text{i}\sqrt{3}\quad\text{et}\quad 2\text{i}\sqrt{3}
\]
On remarquera que : $A_1=1$, $A_2=B$ et $A_4=C$.
Comparer les longueurs des segments $[A_1A_2]$, $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$.
établir que pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
z_{n+1}-\omega = \frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega),
\]
où $\omega$ désigne le nombre complexe défini à la question \textbf{1. b)}.
En déduire que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques.
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A_{n+6}=A_n$. Déterminer l'affixe du point $A_{2012}$.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Déterminer, pour tout entier naturel $n$, la longueur du segment $[A_nA_{n+1}]$.