Bac S Géométrie Pondichéry 2012

Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, on considère :

les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations :

\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]

la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= & -3 - 2t \\
y&=& 2t\\
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}.\]

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1

La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

Proposition 2

La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$.

Proposition 3

L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= & 1 - t' \\
y&= & - 1 - 2t'\\
z&= &t'
\end{array}\right. \quad t' \in \mathbb{R}.\]

Proposition 4

Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires.