Bac S Géométrie Nouvelle Calédonie 2011

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.

On considère les points: A(0 ; 0 ; 2), B(0; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$.
Calculer la distance du point O au plan (ABC).

Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et orthogonal à la droite (BC).
Soit $\Delta$ la droite intersection du plan $P$ et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ?

Soit $\Delta'$ la médiane issue de B du triangle ABC.

Montrer qu'une équation paramétrique de $\Delta'$ dans le triangle ABC est :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t \\
y &=& 4 - 4t,\\
z &=& t
\end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}.\]

Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

Soit H le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\Delta'$. Montrer que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9}\right)$.

Que représente le point H pour le triangle ABC ?
Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC).