BAC S COMPLEXE AmeriqueSud_dec 2002

Dans le plan complexe, rapportŽé à ˆ un repère orthonorméŽ direct \Ouv{} on appelle A et B les points d'affixes respectives 2 et - 2. à tout point $M$ d'affixe $z,~z$ diffŽérent de 2, on associe le point $N$ d'affixe $\overline{z}$ et $M'$ d'affixe $z'$ tel que

\[ z' = \dfrac{2z - 4}{\overline{z} - 2} \]

Calculer $z'$ et $|\overline{z'}|$ lorsque $z = 5$ puis
lorsque $z = 1 + \text{i}$.

\vspace{0,3cm}

InterpréŽter gŽéoméŽtriquement $|z - 2|$ et
$|\overline{z'} - 2|$.

Montrer que, pour tout $z$ distinct de $2, ~|z'| = 2$. En déduire une information
sur la position de $M'$.

DŽéterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z~ (z ­\neq 2)$ tels que $M'$ = B.

On note $Z_{\overrightarrow{\text{A}M}}$ et $Z_{\overrightarrow{\text{B}M'}}$, les affixes respectives des vecteurs $\overrightarrow{\text{A}M}$ et $\overrightarrow{\text{B}M'}$.

Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A et n'appartenant pas ˆ $\mathcal{E}$, le quotient $\dfrac{\overrightarrow{\text{A}M}}{\overrightarrow{\text{B}M'}}$ est un nombre rŽéel. InterpréŽter gŽéoméŽtriquement ce rŽésultat.

Un point $M$ distinct de A, n'appartenant pas ˆ $\mathcal{E}$, Žétant donnéŽ, proposer une méŽthode géŽomŽétrique pour construire le point $M'$. On illustrera par une figure.