Bac S Géométrie Polynésie 2011

On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $EF ^2 = \overrightarrow{EF} ^2 = \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EF}$.

Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB].

Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, on a :

\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2.\]

Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $M$ de l'espace tels que

\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2.\]

Partie B

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.

On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives : $3x + 4y + z - 1 = 0$ et

$x - 2y - z + 5 = 0$ et les points A et B de coordonnées respectives $(-1~;~0~;~4)$ et $(3~;~-4~;~2)$.

Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.

On nomme $(\Delta)$ la droite d'intersection des plans (P) et (Q).

Montrer que le point A appartient à la droite $(\Delta)$.
Montrer que $\overrightarrow{u}(1~;~-2~;~5)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$.
Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$.

$\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Soit (E) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2$.

Déterminer l'ensemble des points d'intersection de (E) et de la droite $(\Delta)$. On précisera les coordonnées de ces points.