BAC S COMPLEXE Amérique du Nord juin 2003

Le plan est rapportŽé au repère orthonorméŽ \Ouv{} (unitŽé graphique : 2~cm).

On considère les points A, B et C d'affixes respectives
$z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3},$

$z_{\text{B}} = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 2$.

Placer ces points sur un dessin.

VŽérifier que : $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}
}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}} } = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

En dŽéduire la nature du triangle ABC.

DéŽterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma_1$ circonscrit au triangle ABC.

Tracer le cercle $\Gamma_1$.

ătablir que l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$
d'affixe $z$ qui véŽrifient

$2(z + \overline{z})~+~z\overline{z}~=~0$
est un cercle de centre $\Omega$ d'affixe $- 2$. PrŽéciser son rayon. Construire $\Gamma_2$.

VéŽrifier que les points A et B sont éŽlŽéments de $\Gamma_2$.

On appelle $r_1$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

Quelles sont les images des points A et B par la rotation $r_1$ ? Construire l'image C$_1$ du point C par la rotation $r_1$ puis calculer son affixe.

DéŽterminer l'image du cercle $\Gamma_2$ par la rotation $r_1$.

Soit $r$ une rotation. Pour tout point $M$ d'affixe
$z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe de $M'$.

On posera : $z'= az + b$, avec $a$ et $b$ des nombres complexes véŽrifiant
$|a| = 1$ et $a ­\neq 1$.

On suppose que $r$ transforme le cercle $\Gamma_2$ en le cercle $\Gamma_1$.

Quelle est l'image du point $\Omega$ par $r$ ? En dŽéduire une relation entre $a$ et $b$.

DéŽterminer en fonction de $a$ l'affixe du point $r(\text{C})$, image du point C par la rotation $r$ ; en dŽéduire que le point $r(\text{C})$ appartient ˆ un cercle fixe que l'on dŽéfinira. VéŽrifier que ce cercle passe par C$_1$.