BAC S COMPLEXE Asie_juin 2003

$\Gamma$ est le cercle de centre O et de rayon $2\sqrt{2}$.

Le plan est rapportŽé ˆà un repère orthonormal \Ouv.

À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - 2(1 + \text{i})z. \]

On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$, où $x,~y,~x'$ et
$y'$ sont des nombres rŽéels.

Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.

Soit $\mathcal{H}$ l'ensemble des points $M$ tels que $z'$ soit un nombre rŽéel. Montrer que $\mathcal{H}$ est la reprŽŽésentation graphique d'une fonction $h$ que l'on dŽéterminera (l'étude de la ronction $h$ n'est pas demandéŽe). $\mathcal{H}$ est tracéŽe sur ie graphique ci-dessous.

Montrer que le point A d'affixe $a = 2(1 + \text{i})$ appartient ˆ à
$\Gamma$ et $\mathcal{H}$.

Soit R la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On note B et C les
points tels que R(A) = B et R(C) = A.

Montrer que R(B) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA
sont isoméŽtriques.

Quelle est la nature du triangle ABC ?

Montrer que B et C appartiennent ˆà $\Gamma$ et $\mathcal{H}$.

Tracer $\Gamma$ et placer A, B et C sur le graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-5,-3)(4,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-3)(0,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(-5,1)(4,1)
\psline(1,-3)(1,4)
\psplot{-5}{0.75}{x x 1 sub div}
\psplot{1.333}{4}{x x 1 sub div}
\end{pspicture}
\end{center}