BAC S COMPLEXE Metropole_juin 2003

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 2$,

$b = 1 - \text{i}$ et $c = 1 + \text{i}$.

Placer les points A, B et C sur une figure.

Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.

On appelle $r$ la rotation de centre A telle que
$r$(B) = C.

Déterminer l'angle de $r$ et calculer l'affixe $d$ du point D =
$r$(C).

Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [BC].

Déterminer et construire l'image $\Gamma '$ du cercle $\Gamma$ par la
rotation $r$.

Soit $M$ un point de $\Gamma$ d'affixe $z$, distinct de
C et $M'$ d'affixe $z'$ son image par $r$.

Montrer qu'il existe un réel $\theta$ appartenant à
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[ \mathbb{C}up \left]\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right[$
tel que $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$.

Exprimer $z'$ en fonction de $\theta$.

Montrer que $\dfrac{z' - c}{z - c}$ est un réel. En déduire que
les points C, $M$ et $M'$ sont alignés.

Placer sur la figure le point M d'affixe $1+
\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et construire son image M$'$ par $r$.