BAC S COMPLEXE NlleCaledonie_mars 2003

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.On considère la transformation ponctuelle $f$ qui, a tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = z^2 + 1.\]

 Déterminer  les antécédents du point O.

 Existe-t-il des points invariants par $f$ ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.

 Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses ?

 Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} =  \dfrac{\sqrt{2}}{2} (1 + \text{i})$. Déterminer l'affixe du point A$'$ image de A par $f$ puis prouver que les points O, A et A$'$ sont alignés.

 Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~ 2\pi[$ et $N$ le point d'affixe $\text{e}^{\text{i}\theta}$.

Montrer que $N$ appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1.

Lorsque $\theta$ varie, montrer que $N'$, image du point $N$ par $f$ reste sur un cercle dont on préŽcisera le centre et le rayon.
 
 Vérifier que $\overrightarrow{\text{O}N'} = 2\mathbb{C}os \theta  \overrightarrow{\text{O}N}$. En déduire que les points O, $N$ et $N'$ sont alignés.
 
 Expliquer la construction du point $N'$.