BAC S COMPLEXE Polynesie juin 2003

Dans tout l'exercice, le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Les constructions seront faites sur papier millimétré.

Le point E a pour affixe $Z_{\text{E}} =3 + \text{i}$ et le point F a pour affixe $Z_{\text{F}}= 1 +3\text{i}$.

Placer dans P les points E et F.

Construire le point H tel que EHF soit un triangle rectangle isocèle direct de sommet H, c'est-ˆà-dire tel que $\left(\overrightarrow{\text{HF}}~ ;~
\overrightarrow{\text{HE}}\right) = \dfrac{\pi}{2} [2\pi]$.

On désigne par $Z_{\text{H}}$ l'affixe de H.

Montrer que $\left|\dfrac{3 + \text{i} - Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i}- Z_{\text{H}}}\right| = 1$ et que $\text{arg} \left(\dfrac{3 + \text{i} -Z_{\text{H}}}{1 + 3\text{i} -  Z_{\text{H}}}\right) =\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.

En déduire que $Z_{\text{H}} = 3 + 3\text{i}$.

 A, B, C et D sont quatre points du plan P.

Construire les triangles rectangles isocèles directs BIA, AJD, DKC et CLB d'angles droits respectifs $\widehat{\text{BIA}},~\widehat{\text{AJD}},~ \widehat{\text{DKC}}$ et $\widehat{\text{CLB}}$.

 Conjecturer la position relative des droites (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ].

 On désigne par $a,~ b$ et $z_{1}$ les affixes respectives des points A, B et I.
        
Montrer que $\left|\dfrac{b-z_{1}}{a-z_{1}}\right| = 1$ et arg$\left(\dfrac{b - z_{1}}{a - z_{1}}\right) = \dfrac{\pi}{2}~[2\pi]$.

En déduire que $z_{1} = \dfrac{\text{i}a - b}{\text{i} - 1}$.

Avec les points B, C et L d'affixes respectives $b,~ c$ et $z_{\text{L}}$, exprimer sans dŽémonstration $z_{\text{L}}$ en fonction de $b$ et $c$.
    
Avec les points C, D et K d'affixes respectives $c,~ d$ et $z_{\text{K}}$, exprimer de même $z_{\text{K}}$ en fonction de $c$ et $d$. Avec
les points D, A et J d'affixes respectives $d,~a$ et $z_{\text{J}}$ exprimer de même $z_{\text{J}}$ en fonction de $a$ et $d$.

Montrer que $z_{\text{L}} - z_{\text{J}} = \text{i}\left(z_{\text{K}} - z_{\text{I}}\right)$. En dŽéduire que les droites (JL) et (KI) sont perpendicu[aires et que JL = KI.