BAC S COMPLEXE Pondichery_mars 2003
Première partie
On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante :
\[\text{(E)}\quad z^3 + 2z^2 - 16 = 0.\]
Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E)
peut s'écrire sous la forme : $(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = 0$, où $a,~b$ et $c$ sont trois réels que l'on déterminera.
En déduire les solutions de l'équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$,.
Placer les points A, B et D d'affixes respectives
\[ z_{\text{A}} = - 2 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et}
\quad z_{\text{D}} = - 2 + 2\text{i}.\]
Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
Soit E l'image de C par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et F l'image de C par la rotation de centre D et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
Calculer les affixes des points E et F, notées $z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$.
Placer les points E et F.
Vérifier que : $\dfrac{z_{\text{F}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{A}}} = \text{i}$.
En déduire la nature du triangle AEF.
Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l'image du triangle EBA par la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
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