BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l'équation (E) : $25x -108y =1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

 Vérifier que le couple $(13~;~3)$ est solution de cette équation.
  Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

Partie B

Dans cette partie, $a$ désigne un entier naturel et les nombres $c$ et $g$ sont des entiers naturels vérifiant la relation $25g -108c =1$.

On rappelle le petit théorème de Fermat :

Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$, alors $a^{ p-1}$ est congru à 1 modulo $p$ que l'on note $a^{ p-1}\equiv 1~[p]$.


 Soit $x$ un entier naturel.

Démontrer que si $x\equiv a~[7]$ et $x\equiv a~[19]$, alors $x\equiv a~[133]$.

 
    
         On suppose que $a$ n'est pas un multiple de 7.
Démontrer que $a^6\equiv 1~[7]$ puis que $a^{108}\equiv 1~[7]$.
En déduire que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$.
         On suppose que a est un multiple de 7.
Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$.
          On admet que pour tout entier naturel $a$, $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[19]$.
Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[133]$.
    

Partie C

On note A l'ensemble des entiers naturels $a$ tels que : $1\leqslant a\leqslant 26$.

Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.

La phase de codage consiste à associer, à chaque entier $a$ de A, l'entier $r$ tel que $a^{25}\equiv r~[133]$ avec $0\leqslant r< 133$.

La phase de décodage consiste à associer à $r$ , l'entier $r_1$ tel que $r^{13}\equiv r_1~[133]$ avec $0\leqslant r_1 < 133$.

 Justifier que $r_1\equiv a~[133]$.
 Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : $128 \qquad 59$.